Vienādojumi, kodi, šifri, matemātika un dzeja

Mihals Šureks par sevi saka: “Esmu dzimis 1946. gadā. 1968. gadā absolvēju Varšavas Universitāti un kopš tā laika strādāju Matemātikas, informātikas un mehānikas fakultātē. Zinātniskā specializācija: algebriskā ģeometrija. Es nesen nodarbojos ar vektoru saišķiem. Kas ir vektora stars? Tātad, vektori ir cieši jāsasien ar diegu, un mums jau ir ķekars. Mans draugs fiziķis Entonijs Sims lika man pievienoties Jaunajam tehniķim (viņš atzīst, ka viņam vajadzētu saņemt honorārus no maniem honorāriem). Es uzrakstīju dažus rakstus un tad paliku, un kopš 1978. gada katru mēnesi var lasīt, ko es domāju par matemātiku. Man patīk kalni un, neskatoties uz lieko svaru, cenšos staigāt. Manuprāt, skolotāji ir vissvarīgākie. Es turētu politiķus, lai kādas būtu viņu iespējas, stingri apsargātā teritorijā, lai viņi nevarētu aizbēgt. Barojiet vienu reizi dienā. Bīgls no Tulekas man patīk.

Vienādojums matemātiķim ir kā šifrs. Vienādojumu atrisināšana, matemātikas kvintesence, ir šifrēta teksta lasīšana. To ir ievērojuši teologi kopš XNUMX gadsimta. Jānis Pāvils II, kurš zināja matemātiku, to vairākkārt rakstīja un pieminēja savos sprediķos – diemžēl fakti man ir izdzēsti no atmiņas.

Skolas zinātnē tas ir pārstāvēts Pitagors kā teorēmas autors par kādu atkarību taisnleņķa trijstūrī. Tā tas kļuva par daļu no mūsu eirocentriskās filozofijas. Un tomēr Pitagoram ir daudz vairāk tikumu. Tas bija tas, kurš saviem studentiem uzlika pienākumu "izzināt pasauli", no "kas ir aiz šī kalna?" pirms zvaigžņu izpētes. Tāpēc eiropieši "atklāja" senās civilizācijas, nevis otrādi.

Daži lasītāji atcerasViète rakstiun"; daudzi vecāki lasītāji atceras pašu terminu no skolas laikiem un aptuveni to, ka jautājums parādījās kvadrātvienādojumos. Šīs likumsakarības ir “ideoloģiski” šifrēšana informāciju.

Nav brīnums, ka viens Fransuā Vjets (1540-1603) nodarbojās ar kriptogrāfiju Henrija IV (pirmais franču karalis no Burbonu dinastijas, 1553-1610) galmā un viņam izdevās uzlauzt šifru, ko briti izmantoja karā ar Franciju. Tātad viņš spēlēja tādu pašu lomu kā poļu matemātiķi (vadīja Marians Rejevskis), kuri pirms Otrā pasaules kara atklāja vācu Enigma šifrēšanas mašīnas noslēpumus.

modes tēma

Tieši tā. Tēma "kodi un šifri" jau sen ir kļuvusi modē mācībās. Par to jau esmu rakstījis vairākas reizes, un pēc diviem mēnešiem būs vēl viena sērija. Šoreiz rakstu iespaidā no filmas par 1920. gada karu, kur uzvaru lielā mērā noteica boļševiku karaspēka kodeksa pārkāpšana, ko veica toreizējo jauniešu vadītā komanda. Vāclavs Serpinskis (1882-1969). Nē, tā vēl nav Enigma, tas ir tikai ievads. Atceros ainu no filmas, kur Juzefs Pilsudskis (atveido Daniils Olbričskis) saka šifrēšanas nodaļas vadītājam:

Atšifrētie ziņojumi saturēja svarīgu vēstījumu: Tuhačevska karaspēks nesaņems atbalstu. Jūs varat uzbrukt!

Es pazinu Vāclavu Sierpinski (ja tā drīkst teikt: es biju jauns students, viņš bija slavens profesors), apmeklēju viņa lekcijas un seminārus. Viņš radīja nokaltuša zinātnieka iespaidu, apjucis, aizņemts ar savu disciplīnu un neredzējis citu pasauli. Viņš īpaši lasīja lekcijas, pagriezies pret tāfeli, neskatoties uz auditoriju... bet jutās kā izcils speciālists. Tā vai citādi viņam bija noteiktas matemātiskas spējas – piemēram, problēmu risināšanai. Ir arī citi zinātnieki, kuri salīdzinoši slikti risina mīklas, bet kuriem ir dziļa izpratne par visu teoriju un kuri spēj aizsākt veselas radošuma jomas. Mums vajag abus – gan jau pirmais kustēsies ātrāk.

Vāclavs Sierpinskis nekad nerunāja par saviem sasniegumiem 1920. gadā. Līdz 1939. gadam tas noteikti bija jātur noslēpumā, un pēc 1945. gada tie, kas cīnījās ar Padomju Krieviju, neizbaudīja toreizējās varas simpātijas. Mana pārliecība, ka zinātnieki ir vajadzīgi, tāpat kā armija, ir pierādīta: "katram gadījumam". Lūk, prezidents Rūzvelts zvana Einšteinam:

Izcilais krievu matemātiķis Igors Arnolds atklāti un skumji teica, ka karš ļoti ietekmējis matemātikas un fizikas attīstību (arī radaram un GPS bija militāra izcelsme). Es neiedziļinājos atombumbas izmantošanas morālajā aspektā: šeit ir kara pagarinājums uz gadu un vairāku miljonu viņu pašu karavīru nāve - tur ir nevainīgu civiliedzīvotāju ciešanas.

***

Bēgu uz pazīstamām vietām - k. Daudzi no mums spēlējās ar kodiem, varbūt skautingi, varbūt vienkārši tāpat. Vienkārši šifri, kuru pamatā ir burtu aizstāšanas ar citiem burtiem vai citiem cipariem princips, parasti tiek sabojāti, ja mēs uztveram tikai dažus pavedienus (piemēram, uzminam karaļa vārdu). Mūsdienās palīdz arī statistiskā analīze. Sliktāk, kad viss ir maināms. Bet vissliktākais ir tad, ja nav likumsakarības. Apsveriet kodu, kas aprakstīts grāmatā Labā karavīra Šveika piedzīvojumi. Paņemiet grāmatu, piemēram, Plūdi. Šeit ir ieteikumi pirmajā un otrajā lapā.

Mēs vēlamies iekodēt vārdu "CAT". Atveram 1. lappusē un nākamajā sekundē. Mēs atklājam, ka 1. lappusē burts K vispirms parādās 59. vietā. Mēs atrodam piecdesmit devīto vārdu pretējā pusē, otrā pusē. Tas ir "a" vārds. Tagad burts O. Kreisajā pusē ir 16. vārds, bet sešpadsmitais labajā pusē ir "Mr." Burts T ir 95. vietā, ja pareizi saskaitīju, un deviņdesmit piektais vārds no labās ir "o". Tātad, KAĶIS = 1 KUNGS O.

"Neuzminams" šifrs, kaut arī sāpīgi lēns gan šifrēšanai, gan ... minēšanai. Pieņemsim, ka mēs vēlamies nodot burtu M. Mēs varam pārbaudīt, vai mēs to iekodējam ar vārdu "Wołodyjowski". Un pēc mums viņi jau gatavo cietuma kameru. Varam rēķināties tikai ar nomaiņu! Turklāt pretizlūkošana atzīmē slepeno darbinieku ziņojumus, ka jau kādu laiku klienti labprāt pērk The Flood pirmo sējumu.

Mans raksts ir ieguldījums šajā darbā: pat visdīvainākās matemātiķu idejas var atrast pielietojumu plaši saprotamā praksē. Piemēram, vai ir iespējams iedomāties mazāk noderīgu matemātisko atklājumu nekā tests dalīšanai ar ... ar 47?

Kad mums dzīvē tas ir vajadzīgs? Un ja tā, tad būs vieglāk mēģināt to atdalīt. Ja dalās, tad ir labi, ja nē, tad ... otrkārt labi (mēs zinām, ka nedala).

Kā dalīties un kāpēc

Pēc šī ievada pāriesim pie Vai jūs, lasītāji, zināt kādas dalāmības pazīmes? Noteikti. Pāra skaitļi beidzas ar 2, 4, 6, 8 vai nulli. Skaitlis dalās ar trīs, ja tā ciparu summa dalās ar trīs. Tāpat ar dalāmības zīmi ar deviņiem - ciparu summai jādalās ar deviņiem.

Kam tas vajadzīgs? Es melotu, ja pārliecinātu Lasītāju, ka viņš ir piemērots jebkam, izņemot... skolas uzdevumus. Nu, un vēl viena dalāmības ar 4 pazīme (un kas tas ir, lasītāj? Varbūt izmantosi, kad vēlēsies uzzināt, kurā gadā būs nākamā olimpiāde...). Bet dalāmības ar 47 pazīme? Tas jau ir galvassāpes. Vai mēs kādreiz uzzināsim, vai kaut kas dalās ar 47? Ja jā, tad paņem kalkulatoru un paskaties.

Šis. Jums ir taisnība, lasītāj. Un tomēr, lasiet tālāk. Lūdzu.

Dalāmības zīme ar 47: Skaitlis 100+ dalās ar 47 tad un tikai tad, ja 47 dalās ar +8.

Matemātiķis apmierināti pasmaidīs: "Ej, smuki." Bet matemātika ir matemātika. Pierādījumiem ir nozīme, un mēs pievēršam uzmanību to skaistumam. Kā pierādīt mūsu īpašību? Tas ir ļoti vienkārši. Atņemiet no 100 + skaitļa 94 - 47 = 47 (2 -). Mēs iegūstam 100+-94+47=6+48=6(+8).

Mēs esam atņēmuši skaitli, kas dalās ar 47, tātad, ja 6 (+ 8) dalās ar 47, tad arī 100 +. Bet skaitlis 6 ir relatīvi pirmskaitlis pret 47, kas nozīmē, ka 6 (+ 8) dalās ar 47 tad un tikai tad, ja tas ir + 8. Pierādījuma beigas.

Paskatīsimies Daži piemēri.

8805685 dalās ar 47? Ja mūs tas patiešām interesē, tad to ātrāk uzzināsim, vienkārši sadalot mūs tā, kā mūs mācīja pamatskolā. Tā vai citādi, tagad katrā mobilajā tālrunī ir kalkulators. Sadalīts? Jā, privātais 187355.

Nu, paskatīsimies, ko mums stāsta dalāmības zīme. Mēs atvienojam pēdējos divus ciparus, reizinim tos ar 8, pievienojam rezultātu “saīsinātajam skaitlim” un darām to pašu ar iegūto skaitli.

8805685 → 88056 + 8 85 = 88736 → 887 + 8 36 = 1175 → 11 + 8 75 = 611 → 6 + 8 11 = 94.

Redzam, ka 94 dalās ar 47 (dalībnieks ir 2), kas nozīmē, ka dalās arī sākotnējais skaitlis. Labi. Bet ko darīt, ja mēs turpināsim izklaidēties?

94 → 0 + 8 94 = 752 → 7 + 8 52 = 423 → 4 + 8 23 = 188 → 1 + 8 88 = 705 → 7 + 8 5 = 47.

Tagad mums ir jāapstājas. Četrdesmit septiņi dalās ar 47, vai ne?

Vai mums tiešām ir jāapstājas? Ko darīt, ja mēs ejam tālāk? Ak Dievs, viss var notikt... Es izlaidīšu detaļas. Varbūt tikai sākums:

47 → 0 + 8 · 47 = 376 → 3 + 8 · 76 = 611 → 6 + 8 · 11 = 94 → 0 + 8 · 94 = 752.

Bet diemžēl tas rada tikpat atkarību kā sēklu košļāšana ...

752 → 7 + 8 * 52 = 423 → 4 + 8 * 23 = 188 → 1 + 8 * 88 = 705 → 7 + 8 * 5 = 47.

Ak, četrdesmit septiņi. Tas notika agrāk. Ko tālāk? . Tas pats. Cipari ir šādi:

Tas tiešām ir interesanti. Tik daudz cilpu.

Divās šādi piemēri.

Mēs vēlamies zināt, vai 10017627 dalās ar 47. Kāpēc mums ir vajadzīgas šīs zināšanas? Mēs atceramies principu: bēdas zināšanām, kas nepalīdz zinātājam. Zināšanas vienmēr kaut kam noder. Tas būs par kaut ko, bet tagad es nepaskaidrošu. Vēl daži konti:

10017627 → 100176 + 8 27 = 100392.

"Viņš nomainīja tēvoci no cirvja uz nūju." Ko mēs no tā visa iegūstam?

Nu, atkārtosim procesa gaitu. Tas ir, mēs turpināsim to darīt (tas ir, vārds “iterēt”).

100392 → 1003 + 8 92 = 1739 → 17 + 8 39 = 329 → 3 + 8 29 = 235.

Pārtrauksim spēli, sadalām kā skolā (vai uz kalkulatora): 235 = 5 47. Bingo. Sākotnējais numurs 10017627 dalās ar 47.

Labi padarīts!

Ko darīt, ja mēs ejam tālāk? Ticiet man, jūs varat to pārbaudīt.

Un vēl viens interesants fakts. Mēs vēlamies pārbaudīt, vai 799 dalās ar 47. Mēs izmantojam dalāmības funkciju. Mēs atvienojam pēdējos divus ciparus, reizinim iegūto skaitli ar 8 un pievienojam atlikušajam:

799 → 7 + 8 99 = 7 + 792 = 799.

Kas mums ir? Vai 799 dalās ar 47 tad un tikai tad, ja 799 dalās ar 47? Jā, tieši tā, bet šim nav vajadzīga matemātika!!! Eļļa ir eļļaina (vismaz šī eļļa ir eļļaina).

Par lapu, pirātiem un joku beigām!

Vēl divi stāsti. Kur ir labākā vieta, kur paslēpt lapu? Atbilde ir acīmredzama: mežā! Bet kā tad to var atrast?

Otro mēs zinām no grāmatām par pirātiem, kuras lasījām jau sen. Pirāti izveidoja karti ar vietu, kur viņi apglabāja dārgumu. Citi to nozaga vai uzvarēja cīņā. Bet kartē nebija norādīts, kurai salai tā paredzēta. Un meklē pats! Protams, pirāti ar to (spīdzināšanu) tika galā - ar šādām metodēm var izvilkt arī šifrus, par kuriem es runāju.

Jokiem beigas. Lasītājs! Mēs izveidojam šifru. Es esmu slepenais spiegs un izmantoju "Jaunāko tehniķi" kā savu kontaktlodziņu. Pārsūtiet man šifrētus ziņojumus šādi.

Vispirms pārveidojiet tekstu par ciparu virkni, izmantojot kodu: AB CDEFGH IJ KLMN ON RST UWX Y Z1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

Kā redzat, mēs neizmantojam poļu diakritikas (t.i., bez ą, ę, ć, ń, ó, ś) un nepoļu valodas q, v — bet nepoļu valodas x ir katram gadījumam. Iekļausim vēl 25 kā atstarpi (atstarpe starp vārdiem). Ak, pats galvenais. Lūdzam piemērot kodu nr.47.

Jūs zināt, ko tas nozīmē. Jūs dodaties pie drauga matemātiķa.

Drauga acis izbrīnā iepletās.

Jūs lepni atbildat:

Matemātiķis apveltī jūs ar šo īpašību... un jūs jau zināt, ka šifrēšanai tiek izmantota neuzkrītoša izskata funkcija

jo šāds modelis ir aprakstīta darbība

100+→+8.

Tātad, ja vēlaties uzzināt, ko nozīmē skaitlis, piemēram, 77777777 šifrētā ziņojumā, izmantojiet funkciju

100+→+8

līdz iegūstat skaitli no 1 līdz 25. Tagad apskatiet precīzo burtciparu kodu. Paskatīsimies: 77777777 →… Es to atstāju jums kā uzdevumu. Bet paskatīsimies, ko slēpj 48. burts? Lasīsim:

48 → 0 + 8 48 = 384.

Tad mēs saņemam savukārt:

384 → 3 + 8 84 = 675 → 6 + 8 75 = 606 → 6 + 8 6 = 54 → 0 + 8 54 = 432…

Beigas nav redzamas. Tikai pēc sešdesmitā (!) laika parādīsies skaitlis, kas ir mazāks par 25. Tas ir 3, kas nozīmē, ka 48 ir burts C.

Un ko šī vēsts mums sniedz? (Gribu atgādināt, ka izmantojam koda numuru 47):

80 – 152 – 136 – 546 – ​​695719 – 100 – 224 – 555 – 412 – 111 – 640 – 102 – 152 – 12881 – 444 – 77777777 – 59 – 408 373 – 1234567 341.

Nu, padomājiet par to, kas tur ir tik sarežģīts, daži konti. Mēs esam sākuši. 80. gadu sākums. Zināms noteikums:

80 → 0 + 8 80 = 640 → 6 + 8 40 = 326.

Tas turpinās šādi:

326 → 211 → 90 → 720 → 167 → 537 → 301 → 11.

Ēd! Vēstules pirmais burts ir K. Phew, viegli, bet cik ilgi tas prasīs?

Paskatīsimies arī, cik daudz nepatikšanas mums ir ar skaitli 1234567. Tikai sešpadsmitajā reizē mēs iegūsim skaitli, kas ir mazāks par 25, proti, 12. Tātad 1234567 ir L.

Labi, varētu teikt, bet šī aritmētiskā darbība ir tik vienkārša, ka ieprogrammējot to datorā, kods uzreiz tiks sabojāts. Jā tā ir taisnība. Tie ir vienkārši datora aprēķini. ideja ar publiskais šifrs un runa ir arī par aprēķinu apgrūtināšanu datoram. Ļaujiet tai darboties vismaz simts gadus. Vai viņš atšifrēs ziņojumu? Nav svarīgi. Tam ilgi nebūs nozīmes. Par to (vairāk vai mazāk) attiecas publiskie šifri. Tās var salūzt, ja strādā ļoti ilgi... līdz ziņas vairs nav aktuālas.

 tā vienmēr ir dzemdējusi "pretieročus". Viss sākās ar zobenu un vairogu. Slepenie dienesti maksā milzīgas naudas summas apdāvinātiem matemātiķiem, lai tie izgudrotu šifrēšanas metodes, kuras datori (tostarp mūsu radītie) nespēs uzlauzt XNUMX gadsimtā.

divdesmit otrais gadsimts? Nav nemaz tik grūti apzināties, ka pasaulē jau ir daudz cilvēku, kas dzīvos šajā skaistajā gadsimtā!

Ak vai? Ko darīt, ja es palūgšu (es, slepenais darbinieks, ar kuru sazinājās “Jaunais tehniķis”) šifrēt ar koda numuru 23? vai 17? Vienkārši:

Lai mums nekad nebūtu jāizmanto matemātika šādiem mērķiem.

***

Raksta nosaukums ir par dzeju. Kāds viņai ar to sakars?

Patīk kas? Dzeja arī šifrē pasauli.

Kā?

Pēc savām metodēm - līdzīgi algebriskajām.