apgrieztais šarms

Daudz tiek runāts par "pretstatu šarmu", un ne tikai matemātikā. Atcerieties, ka pretējie skaitļi ir tie, kas atšķiras tikai pēc zīmes: plus 7 un mīnus 7. Pretējo skaitļu summa ir nulle. Bet mums (t.i., matemātiķiem) interesantāki ir reciprokāli. Ja skaitļu reizinājums ir vienāds ar 1, tad šie skaitļi ir apgriezti viens otram. Katram skaitlim ir savs pretstats, katram skaitlim, kas nav nulle, ir apgriezts. Apgrieztā vērtība ir sēkla.

Inversija notiek visur, kur divi lielumi ir saistīti viens ar otru tā, ka, ja viens palielinās, otrs samazinās ar atbilstošu ātrumu. "Atbilstošs" nozīmē, ka šo daudzumu reizinājums nemainās. Mēs atceramies no skolas: tā ir apgriezta proporcija. Ja vēlos nokļūt galamērķī divreiz ātrāk (t.i., uz pusi samazināt laiku), man ir jāpalielina ātrums. Ja noslēgtā trauka ar gāzi tilpumu samazina n reizes, tad tā spiediens palielināsies n reizes.

Pamatizglītībā mēs rūpīgi nošķiram diferenciālo un relatīvo salīdzinājumu. "Cik daudz vairāk"? - "Cik reizes vairāk?"

Šeit ir dažas skolas aktivitātes:

1 darbs. No divām pozitīvajām vērtībām pirmā ir 5 reizes lielāka par otro un tajā pašā laikā 5 reizes lielāka par pirmo. Kādi ir izmēri?

2 darbs. Ja viens skaitlis ir par 3 lielāks par otro un otrais ir par 2 lielāks par trešo, cik daudz pirmais skaitlis ir lielāks par trešo? Ja pirmais pozitīvais skaitlis ir divreiz lielāks par otro un pirmais skaitlis ir trīsreiz lielāks par trešo, cik reizes pirmais skaitlis ir lielāks par trešo?

3 darbs. 2. uzdevumā ir atļauti tikai naturālie skaitļi. Vai ir iespējama šāda tur aprakstītā kārtība?

4 darbs. No divām pozitīvajām vērtībām pirmā ir 5 reizes lielāka par otro, bet otrā ir 5 reizes lielāka par pirmo. Vai tas ir iespējams?

Jēdziens "vidējais" vai "vidējais" šķiet ļoti vienkāršs. Ja pirmdien nobraucu 55 km, otrdien 45 km un trešdien 80 km, tad vidēji dienā nobraucu 60 km. Mēs no sirds piekrītam šiem aprēķiniem, lai gan tie ir nedaudz dīvaini, jo neesmu nobraucis 60 km vienā dienā. Tikpat viegli pieņemam arī cilvēka akcijas: ja sešu dienu laikā restorānu apmeklē divi simti cilvēku, tad vidējā dienas likme ir 33 un trešdaļa cilvēku. Hm!

Problēmas ir tikai ar vidējo izmēru. Man patīk riteņbraukšana. Tā nu izmantoju tūrisma aģentūras "Braucam līdzi" piedāvājumu - viņi piegādā bagāžu uz viesnīcu, kur klients atpūtas nolūkos brauc ar velosipēdu. Piektdien braucu četras stundas: pirmās divas ar ātrumu 24 km stundā. Tad es tik noguru, ka nākamajiem diviem ar ātrumu tikai 16 stundā. Kāds bija mans vidējais ātrums? Protams (24+16)/2=20km=20km/h.

Sestdien gan bagāža tika atstāta viesnīcā, un es devos apskatīt pilsdrupas, kas atrodas 24 km attālumā, un, tās apskatot, atgriezos. Stundu braucu vienā virzienā, atpakaļ atgriezos lēnāk, ar ātrumu 16 km stundā. Kāds bija mans vidējais ātrums maršrutā viesnīca–pils–viesnīca? 20 km stundā? Protams, nē. Galu galā kopā nobraucu 48 km un pagāja stundu (“tur”) un pusotru stundu atpakaļ. 48 km divarpus stundās, t.i. stunda 48/2,5=192/10=19,2 km! Šajā situācijā vidējais ātrums nav vidējais aritmētiskais, bet gan doto vērtību harmonika:

un šo divstāvu formulu var lasīt šādi: pozitīvo skaitļu harmoniskais vidējais ir to apgrieztā skaitļa vidējā aritmētiskā apgrieztā vērtība. Apgriezto vērtību summas apgrieztā vērtība parādās daudzos skolas uzdevumu koros: ja viens strādnieks rok stundas, otrs - b stundas, tad, strādājot kopā, viņi rok laikā. ūdens baseins (viens stundā, otrs b stundās). Ja vienam rezistoram ir R1, bet otram ir R2, tad tiem ir paralēla pretestība. 

Ja viens dators var atrisināt problēmu sekundēs, cits dators b sekundēs, tad, kad viņi strādā kopā...

Stop! Šeit līdzība beidzas, jo viss ir atkarīgs no tīkla ātruma: savienojumu efektivitātes. Strādnieki var arī traucēt vai palīdzēt viens otram. Ja viens cilvēks var izrakt aku astoņās stundās, vai astoņdesmit strādnieki to var paveikt 1/10 stundas (vai 6 minūtēs)? Ja seši nesēji 6 minūtēs aizvedīs klavieres uz pirmo stāvu, cik ilgā laikā vienam no viņiem nogādās klavieres sešdesmitajā stāvā? Šādu uzdevumu absurds liek atcerēties visas matemātikas ierobežoto pielietojamību uzdevumiem "no dzīves".

Par visu pārdevēju 

Svari vairs netiek izmantoti. Atgādinām, ka uz vienas šādu svaru bļodas tika uzlikts atsvars, bet uz otras tika novietotas sveramās preces, un, kad svars bija līdzsvarā, tad preces svēra tikpat, cik svars. Protams, abām svara slodzes svirām jābūt vienāda garuma, pretējā gadījumā svēršana būs nepareiza.

Ak, pareizi. Iedomājieties pārdevēju, kura svars ir nevienlīdzīgs. Tomēr viņš vēlas būt godīgs pret klientiem un sver preces divās partijās. Vispirms viņš uz vienas pannas uzliek smagumu, bet uz otras attiecīgu preču daudzumu - lai svari būtu līdzsvarā. Tad viņš nosver otro preču "pusi" apgrieztā secībā, tas ir, viņš uzliek svaru uz otro bļodu, bet preces uz pirmo. Tā kā rokas ir nevienlīdzīgas, "pusītes" nekad nav vienādas. Un pārdevēja sirdsapziņa ir tīra, un pircēji slavē viņa godīgumu: "Ko es te noņēmu, to pēc tam pieliku."

Tomēr aplūkosim tuvāk pārdevēja uzvedību, kurš vēlas būt godīgs, neskatoties uz nestabilo svaru. Ļaujiet svara pleciem būt gariem a un b. Ja viena no bļodām ir piekrauta ar kilogramu svaru, bet otra ar x precēm, tad svari ir līdzsvarā, ja ax = b pirmo reizi un bx = a otro reizi. Tātad, pirmā preču daļa ir vienāda ar b / kilogramu, otrā daļa ir a / b. Labam svaram ir a = b, tāpēc pircējs saņems 2 kg preces. Apskatīsim, kas notiek, ja a ≠ b. Tad a – b ≠ 0 un no reducētās reizināšanas formulas mums ir

Nonācām pie negaidīta rezultāta: šķietami godīgā mērījumu "vidēja noteikšana" šajā gadījumā nāk par labu pircējam, kurš saņem vairāk preču.

5 piešķiršana. (Svarīgi, nekādā gadījumā ne matemātikā!). Moskīts sver 2,5 miligramus, bet zilonis piecas tonnas (šie ir diezgan pareizi dati). Aprēķiniet vidējo aritmētisko, ģeometrisko un harmonisko vidējo odu un ziloņu masas (svariem). Pārbaudiet aprēķinus un pārbaudiet, vai tiem ir kāda jēga, izņemot aritmētiskos uzdevumus. Apskatīsim citus matemātisko aprēķinu piemērus, kuriem "reālajā dzīvē" nav jēgas. Padoms. Šajā rakstā mēs jau esam apskatījuši vienu piemēru. Vai tas nozīmē, ka kādam anonīmam studentam, kura viedokli atradu internetā, bija taisnība: “Matemātika muļķo cilvēkus ar skaitļiem”?

Jā, piekrītu, ka matemātikas varenībā var “apmānīt” cilvēkus - katrā otrajā šampūna reklāmā teikts, ka tas par kādu procentu palielina pūkainību. Vai meklēsim citus noderīgu ikdienas rīku piemērus, kurus var izmantot noziedzīgām darbībām?

Gramiņi!

Šīs rakstvietas nosaukums ir darbības vārds (daudzskaitļa pirmā persona), nevis lietvārds (kilograma tūkstošdaļas nominatīvais daudzskaitlis). Harmonija nozīmē kārtību un mūziku. Senajiem grieķiem mūzika bija zinātnes nozare – jāatzīst, ja tā sakām, mēs vārda "zinātne" pašreizējo nozīmi pārnesam uz laiku pirms mūsu ēras. Pitagors dzīvoja XNUMX. gadsimtā pirms mūsu ēras. Viņš ne tikai nezināja datoru, mobilo tālruni un e-pastu, bet arī nezināja, kas ir Roberts Levandovskis, Miško I, Kārlis Lielais un Cicerons. Viņš nezināja ne arābu, ne pat romiešu ciparus (tie sāka lietot ap XNUMX. gadsimtu pirms mūsu ēras), viņš nezināja, kas ir pūniešu kari ... Bet viņš zināja mūziku ...

Viņš zināja, ka uz stīgu instrumentiem vibrācijas koeficienti ir apgriezti proporcionāli stīgu vibrējošo daļu garumam. Viņš zināja, viņš zināja, viņš vienkārši nevarēja to izteikt tā, kā mēs to darām šodien.

Divu stīgu vibrāciju frekvences, kas veido oktāvu, ir proporcijā 1:2, tas ir, augstākās nots frekvence ir divreiz lielāka par zemāko. Pareizā vibrācijas attiecība piektajam ir 2:3, ceturtajam ir 3:4, tīrajai lielajai trešdaļai ir 4:5, mazajai trešdaļai ir 5:6. Tie ir patīkami līdzskaņu intervāli. Tad ir divi neitrālie, ar vibrāciju attiecībām 6:7 un 7:8, tad disonējošie - lielais tonis (8:9), mazais tonis (9:10). Šīs frakcijas (attiecības) ir kā secīgu locekļu attiecības, ko matemātiķi (šī iemesla dēļ) sauc par harmoniskām sērijām:

ir teorētiski bezgalīga summa. Oktāvas svārstību attiecību var uzrakstīt kā 2:4 un starp tām ievietot piekto daļu: 2:3:4, tas ir, mēs sadalīsim oktāvu piektdaļā un ceturtajā. Matemātikā to sauc par harmonisko segmentu dalījumu:

Rīsi. 1. Mūziķim: oktāvas AB sadalīšana piektajā AC.Matemātiķim: harmoniskā segmentācija

Ko es domāju, runājot (iepriekš) par teorētiski bezgalīgu summu, piemēram, harmoniku sēriju? Izrādās, ka šāda summa var būt jebkurš liels skaitlis, galvenais, lai mēs ilgi saskaitām. Sastāvdaļu paliek arvien mazāk, bet to kļūst arvien vairāk. Kas valda? Šeit mēs ieejam matemātiskās analīzes jomā. Izrādās, ka sastāvdaļas ir izsmeltas, bet ne ļoti ātri. Es parādīšu, ka, uzņemot pietiekami daudz sastāvdaļu, es varu apkopot:

patvaļīgi liels. Ņemsim "piemēram" n = 1024. Sagrupēsim vārdus, kā parādīts attēlā:

Katrā iekavā katrs vārds ir lielāks par iepriekšējo, izņemot, protams, pēdējo, kas ir vienāds ar sevi. Nākamajās iekavās mums ir 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128 un 512 komponenti; summas vērtība katrā iekavās ir lielāka par ½. Tas viss ir vairāk nekā 5½. Precīzāki aprēķini liecinātu, ka šī summa ir aptuveni 7,50918. Ne daudz, bet vienmēr, un jūs varat redzēt, ka, ņemot n jebkuru lielu, es varu pārspēt jebkuru skaitli. Šī neticami lēnā (piemēram, mēs esam pirmajā desmitniekā tikai ar sastāvdaļām), bet bezgalīgā izaugsme vienmēr ir fascinējusi matemātiķus.

Ceļojums uz bezgalību ar harmoniku sēriju

Šeit ir mīkla diezgan nopietnai matemātikai. Mums ir neierobežots taisnstūra bloku piedāvājums (ko lai saka, taisnstūrveida!) ar izmēriem, teiksim, 4 × 2 × 1. Apsveriet sistēmu, kas sastāv no vairākiem (uz att. 2 - četri) bloki, kas sakārtoti tā, lai pirmais būtu slīps par ½ no tā garuma, otrais no augšas par ¼ un tā tālāk, trešais par vienu sesto daļu. Nu, varbūt, lai tas būtu patiešām stabils, noliecam pirmo ķieģeli nedaudz mazāk. Aprēķiniem tas nav svarīgi.

Rīsi. 2. Smaguma centra noteikšana

Ir arī viegli saprast, ka, tā kā figūrai, kas sastāv no pirmajiem diviem blokiem (skaitot no augšas), ir simetrijas centrs punktā B, tad B ir smaguma centrs. Noteiksim ģeometriski sistēmas smaguma centru, kas sastāv no trim augšējiem blokiem. Šeit pietiek ar ļoti vienkāršu argumentu. Trīs bloku kompozīciju garīgi sadalīsim divos augšējos un trešajā apakšējā. Šim centram jāatrodas uz sekcijas, kas savieno abu daļu smaguma centrus. Kurā brīdī šajā epizodē?

Ir divi veidi, kā norādīt. Pirmajā izmantosim novērojumu, ka šim centram jāatrodas trīs bloku piramīdas vidū, t.i., uz taisnes, kas šķērso otro, vidējo bloku. Otrajā veidā mēs saprotam, ka, tā kā divu augšējo bloku kopējā masa ir divreiz lielāka nekā viena bloka Nr. 3 (augšā), smaguma centram šajā posmā ir jābūt divreiz tuvāk B, nekā tas ir centram. S no trešā bloka. Līdzīgi atrodam arī nākamo punktu: trīs bloku atrasto centru savienojam ar ceturtā bloka centru S. Visas sistēmas centrs atrodas 2 augstumā un punktā, kas dala segmentu ar 1 līdz 3 (tas ir, par ¾ no tā garuma).

Aprēķini, kurus mēs veiksim nedaudz tālāk, noved pie rezultāta, kas parādīts attēlā. 3. att. Secīgi smaguma centri tiek noņemti no apakšējā bloka labās malas:

Tādējādi piramīdas smaguma centra projekcija vienmēr atrodas pamatnes robežās. Tornis neapgāzīsies. Tagad paskatīsimies att. 3 un uz brīdi izmantosim piekto bloku no augšas kā pamatu (to, kas atzīmēts ar spilgtāku krāsu). Uz augšu slīpi:

tādējādi tā kreisā mala atrodas par 1 tālāk par pamatnes labo malu. Lūk, nākamās šūpoles:

Kādas ir lielākās šūpoles? Mēs jau zinām! Nav lielākais! Ņemot pat vismazākos blokus, jūs varat iegūt viena kilometra pārkari - diemžēl tikai matemātiski: ar visu Zemi nepietiktu, lai izveidotu tik daudz bloku!

Rīsi. 3. Pievienojiet vairāk bloku

Tagad aprēķini, kurus atstājām iepriekš. Mēs aprēķināsim visus attālumus "horizontāli" uz x ass, jo tas ir viss. Punkts A (pirmā bloka smaguma centrs) atrodas 1/2 no labās malas. Punkts B (divu bloku sistēmas centrs) atrodas 1/4 attālumā no otrā bloka labās malas. Lai sākumpunkts būtu otrā bloka beigas (tagad mēs pāriesim uz trešo). Piemēram, kur atrodas viena bloka #3 smaguma centrs? Tāpēc puse no šī bloka garuma ir 1/2 + 1/4 = 3/4 no mūsu atskaites punkta. Kur ir punkts C? Divās trešdaļās segmenta starp 3/4 un 1/4, tas ir, punktā iepriekš, mēs mainām atskaites punktu uz trešā bloka labo malu. Trīs bloku sistēmas smaguma centrs tagad ir noņemts no jaunā atskaites punkta utt. Smaguma centrs C_n tornis, kas sastāv no n blokiem, atrodas 1/2n attālumā no momentānā atskaites punkta, kas ir pamatbloka labā mala, t.i., n-tais bloks no augšas.

Tā kā apgriezto vērtību virkne atšķiras, mēs varam iegūt jebkādas lielas atšķirības. Vai to tiešām varētu īstenot? Tas ir kā bezgalīgs ķieģeļu tornis – agri vai vēlu tas zem sava svara sabruks. Mūsu shēmā minimālās neprecizitātes bloku izvietojumā (un lēnais sērijas daļējo summu pieaugums) nozīmē, ka mēs netiksim ļoti tālu.