Ģeometriski ceļi un brikšņi

Rakstot šo rakstu, atcerējos kādu ļoti senu Jana Pietrzaka dziesmu, ko viņš dziedāja pirms savas satīriskās darbības Polijas Tautas Republikā par drošības vārstu atzītajā kabarē Pod Egidą; par sistēmas paradoksiem varētu godīgi pasmieties. Šajā dziesmā autors ieteica sociālistisku politisko līdzdalību, izsmejot tos, kas vēlas būt apolitiski un izslēdzot radio avīzē. “Labāk ir atgriezties skolā, lasīt,” ironiski dziedāja toreiz XNUMX gadus vecais Petšaks.

Es atgriežos skolā, lasot. Pārlasu (ne pirmo reizi) Ščepana Jeļenska (1881-1949) grāmatu “Lylavati”. Dažiem lasītājiem pats vārds kaut ko izsaka. Šis ir slavenā hinduistu matemātiķa, kas pazīstams kā Bhaskara (1114-1185), meitas vārds Akaria jeb gudrais, kurš savu algebras grāmatu nosauca ar šādu vārdu. Lilavati vēlāk kļuva par slavenu matemātiķi un filozofi. Saskaņā ar citiem avotiem, viņa pati uzrakstīja grāmatu.

Ščepans Jeļenskis piešķīra tādu pašu nosaukumu savai grāmatai par matemātiku (pirmais izdevums, 1926). Var būt pat grūti nosaukt šo grāmatu par matemātisko darbu – tas vairāk bija mīklu kopums, turklāt lielā mērā pārrakstīts no franču avotiem (autortiesības mūsdienu izpratnē neeksistēja). Katrā ziņā ilgus gadus tā bija vienīgā populārā poļu grāmata par matemātiku – vēlāk tai tika pievienota Jeļenska otrā grāmata Pitagora saldumi. Tā nu jauniešiem, kurus interesēja matemātika (tieši tā es kādreiz biju), nebija no kā izvēlēties...

no otras puses, "Lilavati" bija jāzina gandrīz no galvas... Ā, bija laiki... Viņu lielākais pluss bija tas, ka es toreiz biju... pusaudzis. Šodien no labi izglītota matemātiķa skata punkta uz Lilavati skatos pavisam savādāk - varbūt kā uz Špiglasovas Pšeļenčas taciņas līkumiem kā kāpējs. Ne viens, ne otrs nezaudē savu šarmu... Viņam raksturīgajā stilā Ščepans Jeļenskis, kurš personīgajā dzīvē piesaka tā saucamās nacionālās idejas, priekšvārdā raksta:

Nepieskaroties nacionālo īpašību aprakstam, teikšu, ka arī pēc deviņdesmit gadiem Jeļenska vārdi par matemātiku nav zaudējuši savu aktualitāti. Matemātika māca domāt. Tas ir fakts. Vai mēs varam iemācīt domāt savādāk, vienkāršāk un skaistāk? Var būt. Vienkārši... mēs joprojām nevaram. Es saviem skolēniem, kuri nevēlas nodarboties ar matemātiku, skaidroju, ka tas ir arī viņu intelekta pārbaudījums. Ja tu nevari apgūt patiešām vienkāršu matemātikas teoriju, tad... varbūt tavas prāta spējas ir sliktākas, nekā mēs abi vēlētos...?

Zīmes smiltīs

Un šeit ir pirmais stāsts "Lylavati" - stāsts, ko aprakstījis franču filozofs Žozefs de Meistrē (1753-1821).

Jūrnieku no avarējuša kuģa viļņi izmeta tukšā krastā, kuru viņš uzskatīja par neapdzīvotu. Pēkšņi piekrastes smiltīs viņš ieraudzīja kādam priekšā uzzīmētas ģeometriskas figūras pēdas. Toreiz viņš saprata, ka sala nav pamesta!

Citējot de Mestri, Jeļenskis raksta: ģeometriskā figūratas būtu bijis mēms izteiciens nelaimīgajam, kuģa avārijā nonākušajam, nejaušība, taču viņš īsumā parādīja viņam proporciju un skaitu, un tas vēstīja par apgaismotu cilvēku. Tik daudz par vēsturi.

Ņemiet vērā, ka jūrnieks izraisīs tādu pašu reakciju, piemēram, uzzīmējot burtu K, ... un jebkādas citas personas klātbūtnes pēdas. Šeit ģeometrija ir idealizēta.

Tomēr astronoms Camille Flammarion (1847-1925) ierosināja, ka civilizācijas sveic viena otru no attāluma, izmantojot ģeometriju. Viņš tajā saskatīja vienīgo pareizo un iespējamo komunikācijas mēģinājumu. Parādīsim tādiem marsiešiem Pitagora trijstūrus... viņi mums atbildēs ar Talsu, mēs viņiem atbildēsim ar Vietas rakstiem, viņu aplis ietilps trīsstūrī, tā sākās draudzība...

Pie šīs idejas atgriezās tādi rakstnieki kā Žils Verns un Staņislavs Lems. Un 1972. gadā uz zondes Pioneer klāja tika novietotas flīzes ar ģeometriskiem (un ne tikai) rakstiem, kas joprojām šķērso kosmosa plašumus, tagad gandrīz 140 astronomiskās vienības no mums (1 I ir vidējais Zemes attālums no Zemes) . Saule, t.i., aptuveni 149 miljoni km). Šo flīzi daļēji izstrādāja astronoms Frenks Dreiks, strīdīgā noteikuma par ārpuszemes civilizāciju skaitu radītājs.

Ģeometrija ir pārsteidzoša. Mēs visi zinām vispārējo viedokli par šīs zinātnes izcelsmi. Mēs (mēs, cilvēki) tikko esam sākuši mērīt zemi (un vēlāk zemi) visutilitārākajiem mērķiem. Attālumu noteikšana, taisnu līniju vilkšana, taisnleņķa iezīmēšana un tilpumu aprēķināšana pamazām kļuva par nepieciešamību. Līdz ar to visa lieta ģeometrija (“Zemes mērīšana”), līdz ar to visa matemātika ...

Tomēr kādu laiku šī skaidrā zinātnes vēstures aina mūs aptumšoja. Jo, ja matemātika būtu nepieciešama tikai operatīviem nolūkiem, mēs nenodarbotos ar vienkāršu teorēmu pierādīšanu. “Jūs redzat, ka tam vispār vajadzētu būt patiesībai,” varētu teikt, pārbaudot, vai vairākos taisnleņķa trīsstūros hipotenūzu kvadrātu summa ir vienāda ar hipotenūzas kvadrātu. Kāpēc tāds formālisms?

Plūmju pīrāgam ir jābūt garšīgam, jāstrādā datorprogrammai, jāstrādā mašīnai. Ja es trīsdesmit reizes skaitīju mucas ietilpību un viss ir kārtībā, tad kāpēc gan citādi?

Pa to laiku senajiem grieķiem ienāca prātā, ka ir jāatrod kādi formāli pierādījumi.

Tātad, matemātika sākas ar Thales (625-547 BC). Tiek pieņemts, ka tieši Milets sāka prātot, kāpēc. Gudriem cilvēkiem nepietiek ar to, ka viņi kaut ko ir redzējuši, ka viņi par kaut ko ir pārliecināti. Viņi redzēja vajadzību pēc pierādījumiem, loģisku argumentu secību no pieņēmuma līdz tēzei.

Viņi arī gribēja vairāk. Iespējams, tas bija Talss, kurš pirmais mēģināja izskaidrot fiziskās parādības naturālistiskā veidā, bez dievišķas iejaukšanās. Eiropas filozofija sākās ar dabas filozofiju – ar to, kas jau ir aiz fizikas (tātad nosaukums: metafizika). Bet Eiropas ontoloģijas un dabas filozofijas pamatus lika pitagorieši (Pitagors, ap 580. g. — ap 500. g. p.m.ē.).

Viņš nodibināja savu skolu Krotonē Apenīnu pussalas dienvidos – šodien mēs to sauktu par sektu. Zinātne (šā vārda pašreizējā nozīmē), mistika, reliģija un fantāzija ir cieši saistītas. Tomass Manns ļoti skaisti pasniedza matemātikas stundas vācu ģimnāzijā romānā Doktors Fausts. Marijas Kureckas un Vitolda Virpšas tulkojumā šis fragments skan:

Interesantajā Čārlza van Dorena grāmatā “Zināšanu vēsture no vēstures rītausmas līdz mūsdienām” es atradu ļoti interesantu skatījumu. Vienā no nodaļām autore apraksta Pitagora skolas nozīmi. Mani pārsteidza pats nodaļas nosaukums. Tas skan: "Matemātikas izgudrojums: pitagorieši".

Mēs bieži apspriežam, vai matemātiskās teorijas tiek atklātas (piem., nezināmas zemes) vai izgudrotas (piemēram, mašīnas, kas agrāk neeksistēja). Daži radošie matemātiķi uzskata sevi par pētniekiem, citi par izgudrotājiem vai dizaineriem, retāk skaitītājiem.

Bet šīs grāmatas autors raksta par matemātikas izgudrojumu vispār.

No pārspīlējumiem līdz maldiem

Pēc šīs garās ievaddaļas es pāriešu pie paša sākuma. ģeometrijalai aprakstītu, kā pārmērīga paļaušanās uz ģeometriju var maldināt zinātnieku. Johanness Keplers fizikā un astronomijā ir pazīstams kā trīs debess ķermeņu kustības likumu atklājējs. Pirmkārt, katra Saules sistēmas planēta pārvietojas ap sauli pa eliptisku orbītu, kuras vienā no perēkļiem ir saule. Otrkārt, ar regulāriem intervāliem planētas vadošais stars, kas ņemts no Saules, izvelk vienādus laukus. Treškārt, planētas ap Sauli apgriezienu perioda kvadrāta attiecība pret tās orbītas puslielās ass kubu (t.i., vidējo attālumu no Saules) visām Saules sistēmas planētām ir nemainīga.

Iespējams, tas bija trešais likums – tā noteikšanai bija nepieciešams daudz datu un aprēķinu, kas pamudināja Kepleru turpināt meklēt modeļus planētu kustībā un novietojumā. Viņa jaunā "atklājuma" vēsture ir ļoti pamācoša. Kopš senatnes mēs esam apbrīnojuši ne tikai parastos daudzskaldņus, bet arī argumentus, kas liecina, ka kosmosā ir tikai pieci no tiem. Trīsdimensiju daudzskaldnis tiek saukts par regulāru, ja tā skaldnes ir identiski regulāri daudzstūri un katrai virsotnei ir vienāds malu skaits. Ilustratīvi, katram regulāra daudzskaldņa stūrim vajadzētu "izskatīties vienādi". Slavenākais daudzskaldnis ir kubs. Ikviens ir redzējis parastu potīti.

Regulārais tetraedrs ir mazāk pazīstams, un skolā to sauc par regulāru trīsstūrveida piramīdu. Tas izskatās kā piramīda. Pārējie trīs regulārie daudzskaldņi ir mazāk zināmi. Oktaedrs veidojas, kad savienojam kuba malu centrus. Dodekaedrs un ikosaedrs jau izskatās pēc bumbiņām. Izgatavoti no mīkstas ādas, tos būtu ērti rakt. Pamatojums, ka nav citu regulāru daudzskaldņu, izņemot piecas platoniskās cietvielas, ir ļoti labs. Pirmkārt, mēs saprotam, ka, ja ķermenis ir regulārs, tad katrā virsotnē jāsaplūst vienādam skaitam (lai q) vienādu regulāru daudzstūru, lai tie būtu p-leņķi. Tagad mums jāatceras, kāds ir leņķis regulārā daudzstūrī. Ja kāds neatceras no skolas laikiem, atgādinām, kā atrast pareizo modeli. Mēs devāmies ceļojumā ap stūri. Katrā virsotnē mēs pagriežamies caur to pašu leņķi a. Apbraucot daudzstūri un atgriežoties sākuma punktā, esam veikuši p šādus pagriezienus, un kopumā esam pagriezušies par 360 grādiem.

Bet α ir 180 grādu papildinājums leņķim, kuru vēlamies aprēķināt, un tāpēc tas ir

Mēs esam atraduši formulu regulāra daudzstūra leņķim (matemātiķis teiktu: leņķa mēri). Pārbaudīsim: trijstūrī p = 3 nav a

Kā šis. Kad p = 4 (kvadrāts), tad

grādi arī ir labi.

Ko mēs saņemam par piecstūri? Tātad, kas notiek, ja ir q daudzstūri, kuriem katram p ir vienādi leņķi

 grādi, kas samazinās vienā virsotnē? Ja tas būtu plaknē, tad veidotos leņķis

grādi un nevar būt vairāk par 360 grādiem - jo tad daudzstūri pārklājas.

Tomēr, tā kā šie daudzstūri saskaras telpā, leņķim jābūt mazākam par pilno leņķi.

Un šeit ir nevienlīdzība, no kuras tas viss izriet:

Sadaliet to ar 180, abas daļas reiziniet ar p, kārtojiet (p-2) (q-2) < 4. Kas tālāk? Apzināsimies, ka p un q ir jābūt naturāliem skaitļiem un ka p > 2 (kāpēc? Un kas ir p?) un arī q > 2. Nav daudz iespēju, kā divu naturālu skaitļu reizinājumu, kas mazāks par 4. uzskaitiet tos visus 1. tabulā.

Zīmējumus nelieku, internetā visi var redzēt šos skaitļus... Internetā... Neatteikšos no liriskas atkāpes - varbūt tas ir interesanti mazajiem lasītājiem. 1970. gadā es runāju seminārā. Tēma bija grūta. Man bija maz laika gatavoties, es sēdēju vakaros. Galvenais raksts bija tikai lasāms vietā. Vieta bija mājīga, ar darba atmosfēru, labi, septiņos slēdza. Tad līgava (tagad mana sieva) pati piedāvāja man pārrakstīt visu rakstu: apmēram duci drukātu lapu. Nokopēju (nē, ne ar spalvu pildspalvu, mums pat bija pildspalvas), lekcija bija izdevusies. Šodien mēģināju atrast šo publikāciju, kas jau ir veca. Atceros tikai autora vārdu... Meklējumi internetā ilga ilgi... veselas piecpadsmit minūtes. Es par to domāju ar smīnu un nelielu nepamatotu nožēlu.

Mēs atgriežamies pie Keplera un ģeometrija. Acīmredzot Platons paredzēja piektās regulārās formas pastāvēšanu, jo viņam pietrūka kaut kā vienojoša, kas aptver visu pasauli. Varbūt tāpēc viņš uzdeva kādam studentam (Theajtet) viņu meklēt. Kā bija, tā bija, uz kā pamata tika atklāts dodekaedrs. Mēs šo Platona attieksmi saucam par panteismu. Visi zinātnieki līdz pat Ņūtonam tam lielākā vai mazākā mērā padevās. Kopš ļoti racionālā astoņpadsmitā gadsimta tās ietekme ir krasi mazinājusies, lai gan mums nav jākaunas par to, ka mēs visi vienā vai otrā veidā tam pakļaujamies.

Keplera Saules sistēmas veidošanas koncepcijā viss bija pareizi, eksperimentālie dati sakrita ar teoriju, teorija bija loģiski sakarīga, ļoti skaista... bet pilnīgi nepatiesa. Viņa laikā bija zināmas tikai sešas planētas: Merkurs, Venera, Zeme, Marss, Jupiters un Saturns. Kāpēc ir tikai sešas planētas? Keplers jautāja. Un kāda likumsakarība nosaka to attālumu no Saules? Viņš pieņēma, ka viss ir saistīts, tas ģeometrija un kosmogonija ir cieši saistīti viens ar otru. No seno grieķu rakstiem viņš zināja, ka pastāv tikai pieci regulāri daudzskaldņi. Viņš redzēja, ka starp sešām orbītām ir pieci tukšumi. Tātad varbūt katra no šīm brīvajām vietām atbilst kādam regulāram daudzskaldnim?

Pēc vairāku gadu novērošanas un teorētiskā darba viņš izveidoja šādu teoriju, ar kuras palīdzību diezgan precīzi aprēķināja orbītu izmērus, ko prezentēja 1596. gadā izdotajā grāmatā "Mysterium Cosmographicum": Iedomājieties milzu sfēru, kura diametrs ir Merkura orbītas diametrs tā ikgadējā kustībā ap sauli. Tad iedomājieties, ka uz šīs sfēras ir regulārs oktaedrs, uz tās ir sfēra, uz tās ir ikosaedrs, uz tās atkal ir sfēra, uz tās dodekaedrs, uz tās ir vēl viena sfēra, uz tās ir tetraedrs, tad atkal sfēra, kubs. un, visbeidzot, uz šī kuba ir aprakstīta bumba.

Keplers secināja, ka šo secīgo sfēru diametri ir citu planētu orbītu diametri: Merkura, Veneras, Zemes, Marsa, Jupitera un Saturna. Šķita, ka teorija bija ļoti precīza. Diemžēl tas sakrita ar eksperimentālajiem datiem. Un kas gan vēl labāks pierādījums matemātiskās teorijas pareizībai, ja ne tās atbilstība eksperimentālajiem datiem vai novērojumu datiem, īpaši "no debesīm paņemtiem"? Es apkopoju šos aprēķinus 2. tabulā. Ko tad darīja Keplers? Mēģināju un mēģināju, līdz izdevās, tas ir, kad konfigurācija (sfēru secība) un no tā izrietošie aprēķini sakrita ar novērojumu datiem. Šeit ir mūsdienu Keplera skaitļi un aprēķini:

Var ļauties teorijas valdzinājumam un uzskatīt, ka mērījumi debesīs ir neprecīzi, nevis darbnīcas klusumā veiktie aprēķini. Diemžēl šodien mēs zinām, ka ir vismaz deviņas planētas un ka visas rezultātu sakritības ir tikai nejaušība. Žēl. Tas bija tik skaisti...