Krāsaini kvadrāti un saules aptumsumi

Rakstā ir aprakstītas manas nodarbības vidusskolēniem - Nacionālā bērnu fonda stipendiātiem. Fonds meklē īpaši apdāvinātus bērnus un jauniešus (no pamatskolas XNUMX. klases līdz vidusskolai) un piedāvā "stipendijas" atlasītajiem skolēniem. Taču tās nepavisam nesastāv skaidras naudas izņemšanā, bet gan vispusīgās rūpēs par talantu attīstību, kā likums, daudzu gadu garumā. Atšķirībā no daudziem citiem šāda veida projektiem, labi pazīstami zinātnieki, kultūras darbinieki, ievērojami humānisti un citi gudri cilvēki, kā arī daži politiķi nopietni uztver fonda aizbilstamos.

Fonda darbība attiecas uz visām disciplīnām, kas ir pamatskolas mācību priekšmeti, izņemot sportu, tajā skaitā mākslu. Fonds tika izveidots 1983. gadā kā pretlīdzeklis toreizējai realitātei. Fondā var pieteikties ikviens (parasti caur skolu, vēlams līdz mācību gada beigām), bet, protams, ir noteikts siets, noteikta kvalifikācijas procedūra.

Kā jau minēju, raksts ir balstīts uz manām meistarklasēm, konkrēti Gdiņā, 2016. gada martā III vidusskolas 24. pamatskolā. Navy. Jau daudzus gadus šos seminārus fonda paspārnē organizē neparastas harizmas un augsta intelektuālā līmeņa skolotājs Vojcehs Tomalčiks. 2008. gadā Polijā iekļuva labāko desmitniekā, kuriem tika piešķirts pedagoģijas profesora nosaukums (likumā tas bija paredzēts pirms daudziem gadiem). Apgalvojumā ir neliels pārspīlējums: “Izglītība ir pasaules ass”.

un mēness vienmēr ir aizraujoši – tad var just, ka dzīvojam uz mazas planētas milzīgā kosmosā, kur viss ir kustībā, mērot centimetros un sekundēs. Tas mani pat nedaudz biedē, arī laika perspektīva. Mēs uzzinām, ka nākamais pilnais aptumsums, kas redzams no šodienas Varšavas apgabala, būs ... 2681. Interesanti, kurš to redzēs? Mūsu debesīs redzamie Saules un Mēness izmēri ir gandrīz vienādi – tāpēc aptumsumi ir tik īsi un tik iespaidīgi. Gadsimtiem ilgi ar šīm īsajām minūtēm vajadzētu pietikt, lai astronomi varētu redzēt Saules vainagu. Dīvaini, ka tās notiek divas reizes gadā... bet tas nozīmē tikai to, ka kaut kur uz Zemes tās var redzēt īsu laika posmu. Paisuma un paisuma kustību rezultātā Mēness attālinās no Zemes – pēc 260 miljoniem gadu tas būs tik tālu, ka mēs (mēs???) redzēsim tikai gredzenveida aptumsumus.

Acīmredzot pirmais, kas prognozēja aptumsums, bija Milētas Talss (28.-585. gs. p.m.ē.). Mēs droši vien neuzzināsim, vai tas tiešām notika, proti, vai viņš to paredzēja, jo fakts, ka aptumsums Mazāzijā notika 567. gada maijā pirms mūsu ēras, ir fakts, ko apstiprina mūsdienu aprēķini. Protams, es citēju datus par šodienas laika atskaiti. Bērnībā iedomājos, kā cilvēki skaita gadus. Tātad tas ir, piemēram, 566 pirms mūsu ēras, tuvojas Jaungada vakars, un cilvēki priecājas: tikai XNUMX gadi pirms mūsu ēras! Cik priecīgi viņi varēja būt, kad beidzot pienāca “mūsu ēra”! Kādu gadu tūkstošu miju mēs piedzīvojām pirms dažiem gadiem!

Datumu un diapazonu aprēķināšanas matemātika aptumsumi, nav īpaši sarežģīta, bet ir pieblīvēta ar visdažādākajiem faktoriem, kas saistīti ar regularitāti un, vēl ļaunāk, ar ķermeņa nevienmērīgu kustību orbītās. Es pat gribētu zināt šo matemātiku. Kā Thales of Miletus varēja veikt nepieciešamos aprēķinus? Atbilde ir vienkārša. Jums ir jābūt debesu kartei. Kā izveidot šādu karti? Tas arī nav grūti, senie ēģiptieši prata to darīt. Pusnaktī uz tempļa jumta iznāk divi priesteri. Katrs no viņiem apsēžas un zīmē to, ko redz (kā viņa kolēģis). Pēc diviem tūkstošiem gadu mēs zinām visu par planētu kustību ...

Skaista ģeometrija vai jautrība uz "paklāja"

Grieķiem nepatika skaitļi, viņi ķērās pie ģeometrijas. To mēs darīsim. Mūsu aptumsums tie būs vienkārši, krāsaini, bet tikpat interesanti un īsti. Mēs pieņemam vienošanos, ka zilā figūra kustas tā, ka tā aptumšo sarkano. Sauksim zilo figūru par mēnesi, bet sarkano figūru par sauli. Mēs uzdodam sev šādus jautājumus:

1. cik ilgi ilgst aptumsums;
2. kad ir aptverta puse no mērķa;

   Rīsi. 1 Daudzkrāsains "paklājs" ar sauli un mēnesi

3. kāds ir maksimālais pārklājums;
4. vai ir iespējams analizēt vairoga pārklājuma atkarību no laika? Šajā rakstā (mani ierobežo teksta daudzums) es pievērsīšos otrajam jautājumam. Aiz tā slēpjas jauka ģeometrija, iespējams, bez garlaicīgiem aprēķiniem. Apskatīsim att. 1. Vai var pieņemt, ka tas būs saistīts ar ... saules aptumsumu?

Jāsaka godīgi, ka uzdevumi, kurus apspriedīšu, būs īpaši atlasīti, pielāgoti vidusskolēnu un vidusskolēnu zināšanām un prasmēm. Bet mēs trenējamies uz tādiem uzdevumiem, kā mūziķi spēlē svarus, bet sportisti veic vispārīgus attīstošos vingrinājumus. Turklāt, vai tas nav tikai skaists paklājs (1. att.)?

Rīsi. 2 "Zilais" mēness un "sarkanā" saule

Mūsu debess ķermeņi, vismaz sākotnēji, būs krāsaini kvadrāti. Mēness ir zils, saule sarkana (vislabāk krāsot). ar tagadni aptumsums Mēness dzenā sauli pa debesīm, panāk ... un aizver to. Pie mums būs tāpat. Vienkāršākais gadījums, kad Mēness pārvietojas attiecībā pret Sauli, kā parādīts attēlā. 2. Aptumsums sākas, kad Mēness diska mala pieskaras Saules diska malai (2. att.) un beidzas, kad tā pārsniedz to.

Rīsi. 3 Mēness tuvojas saulei pa diagonāli

Mēs pieņemam, ka "Mēness" pārvieto vienu šūnu laika vienībā, piemēram, minūtē. Pēc tam aptumsums ilgst astoņas laika vienības, teiksim, minūtes. Puse saules aptumsumi pilnībā aptumšots Ciparnīcas puse tiek aizvērta divas reizes: pēc 2 un 6 minūtēm. Procentuālā aizseguma diagramma ir vienkārša. Pirmajās divās minūtēs vairogs vienmērīgi aizveras ar ātrumu no nulles līdz 1, nākamajās divās minūtēs tas tiek eksponēts ar tādu pašu ātrumu.

Šeit ir interesantāks piemērs (3. att.). Mēness tuvojas saulei pa diagonāli. Saskaņā ar mūsu minūtes maksājuma līgumu, aptumsums ilgst 8√2 minūtes - šī laika vidū mums ir pilns aptumsums. Aprēķināsim, kāda saules daļa ir pārklāta pēc laika t (3. att.). Ja kopš aptumsuma sākuma ir pagājušas t minūtes, un tā rezultātā Mēness ir tāds, kā parādīts attēlā. 5, tad (uzmanību!) Līdz ar to tas ir pārklāts (kvadrātveida APQR laukums), kas vienāds ar pusi no saules diska; tāpēc tas tika pārklāts, kad, t.i. pēc 4 minūtēm (pēc tam 4 minūtes pirms aptumsuma beigām).

Rīsi. 4 "ēnošanas" funkcijas grafiks

Kopums ilgst vienu brīdi (t = 4√2), un funkcijas "ēnotā daļa" grafiks sastāv no diviem parabolu lokiem (4. att.).

Mūsu zilais mēness pieskarsies stūrim ar sarkano sauli, bet tas aizsegs to, ejot nevis pa diagonāli, bet nedaudz pa diagonāli.Interesanta ģeometrija parādās, kad kustību nedaudz sarežģījam (6. att.). Kustības virziens tagad ir vektors [4,3], tas ir, "četras šūnas pa labi, trīs šūnas uz augšu". Saules stāvoklis ir tāds, ka aptumsums sākas (pozīcija A), kad "debesu ķermeņu" malas saplūst līdz ceturtdaļai no to garuma. Kad Mēness pāriet uz pozīciju B, tas aptumšo vienu sesto daļu no Saules, un pozīcijā C tas aptumšo pusi. Pozīcijā D mums ir pilnīgs aptumsums, un tad viss atgriežas, "kā tas bija".

Rīsi. 5 Saules daļa paslēpta laikā t

Aptumsums beidzas, kad Mēness atrodas pozīcijā G. Tas ilga tik ilgi, cik sekcijas garums AG. Ja, tāpat kā iepriekš, par laika vienību ņemam laiku, kurā Mēness šķērso "vienu kvadrātu", tad AG garums ir vienāds. Ja mēs atgrieztos pie vecās konvencijas, ka mūsu debess ķermeņi ir 4 pret 4, rezultāts būtu atšķirīgs (kāds?). Kā to ir viegli parādīt, mērķis aizveras pēc t < 15. Funkcijas “Ekrāna pārklājuma procents” grafiku var redzēt att. 6.

Rīsi. 6 "Procentuālās aizsardzības" funkcijas grafiks

Aptumsuma un lēciena vienādojums

Rīsi. 7 Saules diska aizsprostojums aptumsuma laikā, kas parādīts attēlā. 6

Aptumsumu problēma būtu nepilnīga, ja mēs neņemtu vērā apļu gadījumu. Tas ir daudz sarežģītāk, taču mēģināsim izdomāt, kad viens aplis aptumšo pusi no otra – un vienkāršākajā gadījumā, kad viens no tiem pārvietojas pa diametru, kas savieno abus. Zīmējums ir pazīstams dažu kredītkaršu īpašniekiem.

Lauku stāvokļa aprēķināšana ir sarežģīta, jo, pirmkārt, ir nepieciešamas zināšanas par apļveida segmenta laukuma formulu, otrkārt, zināšanas par leņķa loku un, treškārt, (un vissliktākais) spējas lai atrisinātu noteiktu lēciena vienādojumu. Es nepaskaidrošu, kas ir "pārejas vienādojums", apskatīsim piemēru (8. att.).

Rīsi. 8 "Sfērisks" aptumsums

Apļveida sadaļa ir "bļoda", kas paliek pēc apļa izgriešanas ar taisnu līniju. Šāda segmenta laukums ir S = 1/2r²(φ-sinφ), kur r ir apļa rādiuss, bet φ ir centrālais leņķis, uz kura atrodas segments (8. att.). To var viegli iegūt, atņemot trīsstūra laukumu no apļveida sektora laukuma.

O sērija₁O₂ (attālums starp apļu centriem) ir vienāds ar 2rcosφ/2, un augstums (platums, “vidukļa līnija”) h = 2rsinφ/2. Tātad, ja mēs vēlamies aprēķināt, kad Mēness pārklāj pusi no Saules diska, mums jāatrisina vienādojums: kas pēc vienkāršošanas kļūst:

Rīsi. 9 Divu funkciju grafiki

Šādu vienādojumu risinājums pārsniedz vienkāršu algebru – vienādojumā ir gan leņķi, gan to trigonometriskās funkcijas. Vienādojums ir ārpus tradicionālajām metodēm. Tāpēc to sauc lēkt. Vispirms apskatīsim abu funkciju grafikus, t.i., funkcijas un funkcijas.No šī attēla varam nolasīt aptuvenu risinājumu. Tomēr mēs varam iegūt iteratīvu tuvinājumu vai… izmantot Excel izklājlapas opciju Risinātājs. Katram vidusskolniekam tas būtu jāspēj, jo ir 20. gs. Es izmantoju sarežģītāku Mathematica rīku, un šeit ir mūsu risinājums ar nevajadzīgas precizitātes XNUMX zīmēm aiz komata:

SetPrecision[FindRoot[x==Sin[x]+Pi/2,{x,2}],20] {x⇒2.3098814600100574523}.

Rīsi. 10 Aptumsuma animācija matematicā

Mēs to pārvēršam grādos, reizinot ar 180/π. Mēs iegūstam 132 grādus, 20 minūtes, 45 un ceturtdaļu loka sekundes. Mēs aprēķinām, ka attālums līdz apļa centram ir O₁O₂ = 0,808 rādiuss un "viduklis" 2,310.