Uzmini, kurā rokā atrodas zelta bumbiņa
Vēl pirms Covid laikmetā (ak, kad tas bija?) man reiz lūdza piedalīties "zaļajā skolā". Papildus atbilstošai atpūtai tikšanās tika veltīta matemātikai, proti, sfērai un tās īpašībām. Šo tēmu skolā parasti izlaiž, jo... nu, nezinu kāpēc.
Pēc tam pat ģeoloģijas studenti nezina, kas ir garums (ar mani notika īstā lieta - es lasīju lekciju universitātes atbilstošajā nodaļā). Tikšanās bija ārkārtīgi veiksmīga, aplausi vadībai un trim skolotājiem, kas to visu organizēja. Mācīšana nav tikai zināšanu sniegšana ar 45 minūšu soli no 8:XNUMX līdz XNUMX:XNUMX vai XNUMX:XNUMX. Nu tagad ar tālmācību viss ir savādāk. Arvien vairāk skolotāju apspriež, kā mainīt tradicionālo klases sistēmu uz... nu, uz ko? Atcerēsimies, ka mēs eksperimentējam ar “dzīvu organismu” – bērniem. Kur ir zelta bumba, kurā ir dzīves gudrība?
Izskatu studentu pieteikumus Nacionālā bērnu fonda stipendijai īpaši apdāvinātiem bērniem. No Lešno vienmēr bija diezgan daudz ziņojumu. Tie bija tajā gadā, bet katrs otrais bērns (zemāko klašu skolēns) rakstīja: "Kopš skolotājas I. kundzes aizgāja, man ir zudusi interese par matemātiku." Taču no Ļubļinas bija daudz pieteikumu, kas līdz šim iesniegti maz. Mīkla lasītājiem: uz kuru pilsētu pārcēlās I. kundze no Lešno? Uz Ļubļinu? Jā, bet kā jūs, lasītāji, izdomājāt?
Sfēras virsma ir sfēra (no latīņu valodas 'bumba, debesis'). Šis matemātiskais termins ir ienācis sarunvalodā: runa ir par lielvaru ietekmes sfērām, kāda interešu sfēru un sociālajām sfērām. "Ak, viņa nav no mūsu sfēras," grāfiene sacīja šai skaistajai lauku meitenei, kurā jaunais kungs bija iemīlējies. Un tad visi iztēlojās sabiedrību kā koncentriski izvietotus gliemežvākus, kas viens otram necaurredzami: no vienas puses, mēs, protams, vislabākajā kompānijā, no otras puses, šī nabaga meitene un pat ģeometrija saka: “Pelnrušķīte: paliec savā vietā!”
Nav grūti aizrauties ar sfērisko formu. Pietiek naktī atrasties zem klajas debess, prom no pilsētām, ziemā vēlams augstā kalnā. Paskatīsimies uz augšu: vai mēs skaidri neredzam debess sfēru? Tam pievienojas tālas zvaigznes, uz to fona klīstošie debess ķermeņi pārvietojas pa tuvākām sfērām: planētām. Ptolemajs mācīja, ka Zeme ir Visuma centrs un to ieskauj deviņas koncentriskas kristāla sfēras.
Pirmajās septiņās ir zināmas septiņas planētas: Diāna (= Mēness), Merkurs, Venera, Apollo (= Saule), Marss, Jupiters un Saturns. Astotajā sfērā bija fiksētās zvaigznes. Pulkstenis deviņi bija kā rokturis, kas regulē pulksteņa kustību: gar tiem virzījās pavasara ekvinokcija. Viduslaikos šai sistēmai tika pievienota desmitā sfēra: galvenais virzītājspēks, kā atspere, viss, kas kustas, virzītājspēks, ciets apvalks, kas atdala pasauli no neesamības. Pitagorieši ticēja sfēru harmonijai – ka planētas, kas pārvietojas pa to sfērām, izdala ārkārtīgi patīkamas skaņas. Galu galā pasaule ir cipars un mūzika.
Skolēnu matemātikas olimpiādē, kuru rīkojām jau minētajā zaļajā skolā, konkurence bija sīva divas komandas. Nu viens uzvarēja (33:31), otrs zaudēja. Kā tas ir sportā.
Algoritms startētāju sadalīšanai divās komandās ir tik interesants no matemātiskā viedokļa, ka es pie tā pakavēšos sīkāk. Šeit problēma, protams, ir spēcīgu un vāju komandu līdzvērtīgā kvalifikācijā. Bet kas ir stabils? Acīmredzot labākā izvēle ir nejauša: katrs spēlētājs paņem no kastes papīra lapu ar vārdiem 1 vai 2 un dodas uz atbilstošo komandu. Bet... ja jūs apmetat monētu 10 reizes, tikai 25 procentus gadījumu rezultāts būs 5:5, kas ir piecas galvas un piecas galvas. Tātad, mēs redzam, ka ar 75 procentu varbūtību komandas būs nevienlīdzīgas.
Ir klaji negodīgs veids, kādā divi iepriekš iecelti kapteiņi izvēlas savus komandas dalībniekus viens pēc otra: vienreiz tu, tad es. Pirmajam kapteinim vienmēr ir priekšrocības, viņš var izvēlēties labāko no pārējiem. Tāpat futbolā kausa izcīņas uzvarētājs tiek noteikts no soda sitiena atzīmes. Viena komanda vienmēr šauj pirmā. Lietas ir labāk tenisā, kur serveris vienmēr atrodas vislabākajā pozīcijā. Taibreikā pēc A pirmās serves divas reizes servē otrā, tad divas reizes A un pēc tam divas serves, pārmaiņus B, A, ... iegūstot divu uzvarētu punktu pārsvaru.
Šī metode arī nav īpaši piemērota divu studentu komandu atlasei. Metodi, ko es aprakstīšu, radīja matemātiķi, pamatojoties uz ideju, kas ņemta no tā sauktā Steinhaus algoritma. To parasti izmanto matemātikas spēlēs, piemēram, pirmsolimpiskajās spēlēs. Interesanti, ka ļoti līdzīgu sistēmu izmantojām manā pagalmā, kad gribējām “spēlēt futbolu” tobrīd tukšajā laukumā aiz mājas. Zēnu bija daudz (es nāku no pirmā pēckara bēbju buma viļņa).
Algoritms ir šāds. Monēta izlemj, kurš no kapteiņiem (A vai B) tiks izvēlēts pirmais. Lai tas ir A. Viņš norāda uz spēlētāju, un tagad (uzmanību!) kapteinis B izlemj, vai šis spēlētājs dosies uz pirmo vai otro komandu. Un tā pamīšus. Viens izvēlas spēlētāju, otrs viņu ieceļ. Otrais norāda, ka pirmais izceļ.
Pievērsiet uzmanību psiholoģiskajām grūtībām. Ja kapteinis A izvēlas labāko, B nekavējoties pievienos viņu savai komandai. Ja viņš norādīs uz vājāko, B teiks: “ļoti labi, ņem viņu” ... bet pēc kāda laika lomas mainīsies otrādi. Tātad, kā jūs spēlējat?
Šeit palīdz zināma sociālā inženierija un sociālā psiholoģija. Īpaši tad, kad atlasē tiek iesaistīti jaunieši, ļoti svarīgas ir simpātijām un antipātijām, nevis tikai nenoteikts “līmenis”. Konkrēti, pēc tam, kad kādu no spēlētājiem ir izvēlējies kapteinis A, kapteinis B novērtē, vai minētais komandas biedrs (nosaukts draugs) ir subjektīvi dalībnieku augšējā vai apakšējā daļā. Vai es viņu/viņu gribu vai ļauju viņam doties uz A? Man ir izvēle. Ja es redzu noteiktu locekli augšējā pusē, es viņu aizvedu pie sevis, un, ja redzu norādīto locekli apakšējā daļā, es viņu paturu. Loma mainās, un B un A punktu skaits tagad atbilst. Viņš dara to pašu. Ja viņš labi novērtē norādīto, tad uztver to personīgi, ja kļūdās, aiziet. Tādā veidā katrs kapteinis ar katru reizi kļūst labāks (vai vismaz vienāds!). Visi domā, ka viņš izdarīja labāko izvēli, ka viņa komanda ir labāka. Matemātika var iepriecināt cilvēkus pat tik delikātos jautājumos.
Tieši ar šādiem jautājumiem cīnījās konkursanti manā zaļajā skolā. Kā redzat, ir daži jautājumi. ne matemātisks, izaicinošs un jautrs.
- Kas ir loksodroms?
- Jums ir 20 bumbiņas. Kāds ir tetraedra augstums, ko var veidot no tiem? Cik bumbiņu vajag 10 slāņu tetraedram?
- Es atstāju telti. Nogāju kilometru uz rietumiem, tad kilometru uz ziemeļiem, tad kilometru uz dienvidiem. Tā es nokļuvu savā teltī. Viņam priekšā sēdēja lācis. Kādā krāsā tas bija?
- Cik lodīšu ar diametru 1 ietilps bumbiņā ar diametru 2?
- Kārtot no mazākās uz lielāko bumbiņu, ko izmanto šādos sporta veidos: teniss, galda teniss, futbols, volejbols, basketbols, ūdenspolo.
- Kura bumbiņa nav ne sfēriska, ne ovāla (kā regbijā vai amerikāņu futbolā)?
- Uzskaitiet sakāmvārdus un teicienus, kas saistīti ar balli.
- Izgudro joku, kas sākas ar vārdiem "Pie ārsta lido lode".
- Sfēra ir ierakstīta kubā, kura mala ir 1 metrs. Vai stūrī pietiek vietas 20 cm bumbiņai?
- Vai kubs ar 1 collu malu var ietilpt sfērā ar 1 centimetra rādiusu?
- Kā zināms, agrāk lielgabalu lodes patiešām bija sfēriskas. Šodien tās nav. Kas tev lika mainīt raķešu formu?
- Sfēras tilpums ir p2 kubikcentimetri. Aprēķiniet tā virsmas laukumu.
- Šis ir aplis ar rādiusu
tas var atrasties uz rādiusa sfēras
- Tvertnē B ir 100 baltas bumbiņas, konteinerā C ir 100 melnas bumbiņas. Mēs nejauši atlasām 10 bumbiņas no konteinera B un iemetam tās C. No 110 bumbiņām, kas pašlaik atrodas C, mēs nejauši atlasām 10 un nometām tās B. Vai ir vairāk melnu bumbiņu B vai balto bumbiņu C?
- Kāda forma var būt bumbiņas ēna?
- Kura paralēle uz Zemes ir puse no ekvatora garuma?
- Planēta T ir vienmērīgi klāta ar zāli. Kādā vietā uz planētas ir piesieta kaza. Cik garai jābūt ķēdei, lai kaza varētu sasniegt tieši pusi zāles uz planētas?
- Dzejolī Pan Tadeušs Stolniks tika nošauts. Kura šauteni trāpīja lode?
- Cik četru burtu vārdus (jēgpilnus vai nē) var izveidot, pārkārtojot burtus vārdā KULA?
- Vai ir bumba, kas pieskaras visām kuba malām? Ja jā, aprēķiniet tā rādiusu. Ja nē, norādiet iemeslus.
komentāri. Es ierosinu noskaidrot (no kura interneta?) Kas ir Loxodrome.
2. uzdevums ir diezgan grūts. Divdesmit identiskas bumbiņas var izveidot tetraedrā 10 + 6 + 3 + 1 (desmit bumbiņas apakšā, pēc tam sešas, trīs un viena). Šādam blokam ir četri slāņi, taču tas ir mazāk nekā četras reizes lielāks par katras sfēras diametru – bumbiņas iekrīt apakšējā stāva padziļinājumos.
Es tomēr apspriedīšu šo izaicinājumu... Es neizlemšu. Es atstāšu to lasītāju ziņā. Es domāju, cita starpā, savu draugu Kazimieru no Ščecinas. Kaziu - tev noteikti patiks. Galu galā mēs saistām uzdevumu ar skolu. Šī ir kaudze, ko mēs redzam fotoattēlā. Šie apelsīni bija ļoti labi... Jebkurš pārdevējs zina, ka vislabāk ir likt ābolus, apelsīnus, citronus un citus cietus augļus šādi (tomāti var izjukt). Nu, tikai pagājušā gadsimta beigās tika atrisināta Johannesa Keplera 1610. gadā izvirzītā problēma, proti, kā matemātiski parādīt, ka tas patiešām ir labākais veids. Precīzāk, vienādas sfēras ar šo izkārtojumu aizņem vismazāko vietu telpā. Tas ir nedaudz mazāk par 75 procentiem. Šī ir aizraujoša matemātiska problēma, jo tā rodas lielās vietās, taču tā atkal ir cita raksta tēma.
Skola, kurā es gāju, nu, diezgan sen, vēl bija vienpadsmit gadus veca. Priekšpēdējā, desmitajā klasē viss gads galvenokārt bija ģeometrija un trigonometrija. Es atceros Henrika Pasņevska problēmu kopumu – kas tur nebija? Tetraedras, prizmas un piramīdas tiek grieztas visos iespējamos veidos. Ak, jā, nebija pietiekami daudz kruķu. Jo tas ir grūti, pat zīmēt nav viegli.
Kopš tā laika trigonometrija skolā ir bijusi ļoti saīsināta un deģenerēta. Kā jebkurš vecs vīrs, es mēdzu atcerēties, ka “toreiz” viss bija labāk. Tā, protams, nav taisnība. Ne viss. Inženiera un mērnieka ikdienas darbā trigonometrija vairs nav tik nepieciešama. Koka triangulācijas torņi kalnu virsotnēs vairs nav vajadzīgi. Viena no lielākajām ēkām atradās Ļubaņā Krosčenko ielā. Tam pat bija kalna nosaukums “patria”. Labi, pietiek ar šīm novirzēm. Apskatīsim zīmējumu. Vispirms nosakām segmenta s garumu. Galu galā leņķis ir 60 grādi. Izmantojot AC, atrodam BC, tad augstumu BH. Bet tas ir mūsu oranžās piramīdas sānu sienas augstums. No šejienes piramīdas augstumu iegūst, reizinot VN ar sienas slīpuma leņķa sinusu pret pamatni, kas... arī ir jāaprēķina, bet tas ir vienkārši un standarta.
Vai es varu teikt, ka "problēma atrisināta". Diemžēl man tas asociējas ar arvien plašāku tālmācību. Es sēžu pie ekrāna un "runāju ar attēlu", un studentiem - jo es viņus mācu - ir jāstrādā saskaņā ar maniem norādījumiem. Lai nu kā, tā es apguvu Microsoft Teams, Inspery un citus sīkrīkus šādu nodarbību vadīšanai. Instruktors bija mājās, es mājās, visi dzēra savu kafiju, viņš "runāja ar bildi" un es mēģināju atdarināt.
→ Skolā, kurā es pasniedzu, viņi jau zina, ka arī tad, kad “atgriezīsies normāls”, lekcijas turpināsies tādā pašā garā. Šai formai ir daudz priekšrocību. Šī ir cita raksta tēma. Tas padara to vēl labāku tiem, kuri vēlas mācīties.
→ Diemžēl viņu nav tik daudz, kā mums, skolotājiem, šķiet. Es nokavēju šo rakstu iesniedzot redaktoram, bet, ja jūs to lasāt, tas nozīmē, ka tas beidzās labi. Proti, mani apbēdināja pirmkursnieku uzvedība, kuriem eksāmena laikā atdevu pārāk lielu brīvību. Izdarīšu secinājumus un “policijas” metodes atgriezīsies. Un mans noskaņojums nozīmēja, ka tā vietā, lai pabeigtu tekstu, es devos garākā pastaigā pa sniegotajiem laukiem netālu no Varšavas. Bija sals, man bija auksti...
→ Atgriezīsimies pie sacensībām ar bumbu. Uz 6. jautājumu var atbildēt ar metāla zāģi vai sasmalcinātu galda tenisa bumbiņu. Labākais joks (8. uzdevums) bija tas, kur lode sūdzas ārstam: "Es nezinu, kas ar mani notiek, bet esmu galīgi apmulsusi." Bija arī laba, kurā lode sūdzējās par starojošām sāpēm un plīst diametrā. Ar bumbu saistītais sakāmvārds (7. uzdevums) ir ievietots raksta nosaukumā, mēs arī zinām, kas ir bumba pie kājām (tā ir Zeme, vai ne?). Lāča krāsas uzdevumam ir gara bārda (protams, lācis bija balts, jo šāds maršruts ir iespējams tikai polārajos reģionos).
Lielgabala lodes (11. problēma) vairs nav sfēriskas, jo mēs varam izgatavot vītņotus stobrus, kas dod šāviņam rotācijas kustību.
Interesants izrādījās 13. jautājums.Vēlāk pat iedevu studentiem. Viņi mēģināja veikt ne pārāk saprātīgus aprēķinus, viņus šausminājās stihija 17. Tikmēr uzdevums ir triviāls. Lode ar noteiktu rādiusu ir maza, bet aplis ir liels. Tas nederēs. Uz 18. jautājumu pareizā atbilde bija: maskavietis, kuram Jaceks Soplica izrāva šauteni. Skolēni atbildēja nepareizi: Jacek.
Atgriezīšos laukumā, jo tas mani ļoti piesaista. Un pierādījums tam ir šāda “oda sfēriskajam”.
Kulo! Tu esi mans! Liels vai mazs
Jūs esat tāds pats ap beigām.
Es šodien gribu izdziedāt visu tavu skaistumu.
Es varu izveidot vienādojumus. Bet es uzrakstīšu odu!
Cik daudz novērtēt, viņš tikai zinās
Kas tevi redzēja. Bet tavs skaistums visā tās dekorācijā
Tie, kas mācījušies Slavkovas zaļajā skolā, to novērtēs!
Jūsu skaistums sniedzas no centra līdz malām!
Ikvienu vienādi piesaista jūsu ģeometrija.
Esmu no maza bērna, no pirmsskolas vecuma,
Es vienmēr esmu gribējusi saprast, kāpēc tu esi tāds.
Cik sāpīgi skanēja šie tēvišķie vārdi:
“Tu uzzināsi, kad izaugsi liels. Šodien tu esi par mazu!
Kad es biju zēns un nevainīgs bērns
Četras trešdaļas gribēja uzzināt tavu noslēpumu
Un cik dziļa bija sirds
Kad es gribēju tavu slepeno četrstāvu laukumu.
Es noriju daudz īslaicīgas jaunības
Integrējot savas pamata kārtas domās,
Un kad jaunekļa seju klāja rugāji,
Es redzēju trīsstūri ar trim taisniem leņķiem
Viņai ir. Un uzreiz es varēju atšifrēt, cik viņa ir skaista.
Virsmas ģeometrija ir eliptiska.
Un kā jauno vīrieti ietekmēja Oscom,
Kad viņa beidzot man parādīja savu rumbu līniju
Kas ir katrs meridiāns?
Ar tādu pašu griešanas leņķi ... un no tā izriet
Ka līknes garums pieaug līdz bezgalībai,
Un ka abi poli ir savijušies ar mīlestību.
Vēlāk, skatoties uz savu Rīmaņa tenzoru
Lauku platības rēķināju līdz rītam
Un uz jūsu virsmas graciozi sauc par sfēru,
Galvenās līknes nekad nenonāca līdz nullei.
Tāpēc paliec man uzticīgs, nesatricināms, viendabīgs,
Tikpat mīļi un visādi smieklīgi.
Vienmēr atstājiet tikai apaļas daļas!
Vairāk nekā vienu reizi mana sirds ilgosies pēc tevis.
Lai jaunieši tagad, nezinot sirmus matus,
Viņi pēta jūsu līknes, ko Gauss nezina.
