TĀ KAM, tas ir: MĒĢINI, KUR VAR – 2. daļa

Iepriekšējā sērijā mēs nodarbojāmies ar Sudoku, aritmētisko spēli, kurā skaitļi pamatā ir sakārtoti dažādās diagrammās saskaņā ar noteiktiem noteikumiem. Visizplatītākais variants ir 9×9 šaha galdiņš, kas papildus sadalīts deviņās 3×3 šūnās. Uz tā ir jāiestata skaitļi no 1 līdz 9, lai tie neatkārtotos ne vertikālā rindā (matemātiķi saka: kolonnā), ne horizontālā rindā (matemātiķi saka: rindā) - un turklāt tā, lai viņi neatkārtojas. atkārtojiet jebkurā mazākā kvadrātā.

Na att. 1 šo mīklu redzam vienkāršākā variantā, kas ir 6 × 6 kvadrāts, kas sadalīts 2 × 3 taisnstūros.. Tajā ievietojam skaitļus 1, 2, 3, 4, 5, 6 - lai tie neatkārtotos vertikāli, ne horizontāli, ne arī katrā no atlasītajiem sešstūriem.

Mēģināsim parādīt augšējā kvadrātā. Vai varat to aizpildīt ar skaitļiem no 1 līdz 6 saskaņā ar šīs spēles noteikumiem? Tas ir iespējams, bet neviennozīmīgi. Apskatīsim - uzzīmējiet kvadrātu pa kreisi vai kvadrātu pa labi.

Var teikt, ka tas nav mīklas pamats. Mēs parasti pieņemam, ka mīklai ir viens risinājums. Uzdevums atrast dažādus pamatus "lielajam" Sudoku, 9x9, ir grūts uzdevums, un nav iespēju to pilnībā atrisināt.

Vēl viena svarīga saikne ir pretrunīgā sistēma. Apakšējo vidējo kvadrātu (tas, kura numurs ir 2 apakšējā labajā stūrī) nevar aizpildīt. Kāpēc?

Izklaide un rekolekcijas

Spēlējam tālāk. Izmantosim bērnu intuīciju. Viņi uzskata, ka izklaide ir ievads mācībās. Dosimies kosmosā. ieslēgts att. 2 visi redz režģi tetraedrsno bumbiņām, piemēram, galda tenisa bumbiņām? Atsaukt skolas ģeometrijas stundas. Krāsas attēla kreisajā pusē izskaidro, pie kā tas ir pielīmēts, montējot bloku. Jo īpaši vienā tiks salīmētas trīs stūra (sarkanās) bumbiņas. Tāpēc tiem jābūt vienādam skaitam. Varbūt 9. Kāpēc? Un kāpēc gan ne?

Ak, es to neizteicu uzdevumus. Tas izklausās apmēram šādi: vai redzamajā režģī ir iespējams ierakstīt skaitļus no 0 līdz 9 tā, lai katrā sejā būtu visi skaitļi? Uzdevums nav grūts, bet cik daudz vajag iedomāties! Es nebojāšu lasītāju prieku un nedāvāšu risinājumu.

Šī ir ļoti skaista un nenovērtēta forma. regulārs oktaedrs, celta no divām piramīdām (=piramīdām) ar kvadrātveida pamatni. Kā norāda nosaukums, oktaedram ir astoņas sejas.

Oktaedrā ir sešas virsotnes. Tas ir pretrunā kubskurai ir sešas skaldnes un astoņas virsotnes. Abu kamolu malas ir vienādas - katrā pa divpadsmit. Šis dubultās cietās vielas - tas nozīmē, ka savienojot kuba skaldņu centrus, mēs iegūstam oktaedru, un oktaedra skaldņu centri dos mums kubu. Abi šie izciļņi darbojas ("jo viņiem tas jādara") Eilera formula: virsotņu skaita un skaldņu skaita summa ir par 2 vairāk nekā malu skaits.

3. Regulārs oktaedrs paralēlā projekcijā un oktaedra režģis, kas sastāv no sfērām tā, ka katrai malai ir četras sfēras.

1 darbs. Vispirms pierakstiet iepriekšējās rindkopas pēdējo teikumu, izmantojot matemātisko formulu. Uz att. 3 jūs redzat oktaedrisku režģi, kas arī sastāv no sfērām. Katrai malai ir četras bumbiņas. Katra seja ir desmit sfēru trīsstūris. Problēma tiek uzstādīta neatkarīgi: vai režģa apļos var ievietot skaitļus no 0 līdz 9 tā, lai pēc cieta korpusa līmēšanas katrā sienā būtu visi skaitļi (no tā izriet, ka bez atkārtošanās). Tāpat kā iepriekš, lielākās grūtības šajā uzdevumā ir tas, kā siets tiek pārveidots par cietu ķermeni. Es nevaru to izskaidrot rakstiski, tāpēc arī šeit nesniedzu risinājumu.

4. Divi ikozaedri no galda tenisa bumbiņām. Ievērojiet atšķirīgo krāsu shēmu.

jau Plato (un viņš dzīvoja XNUMX.-XNUMX. gadsimtā pirms mūsu ēras) zināja visus regulāros daudzskaldņus: tetraedru, kubu, oktaedru, demaэдр i ikosaedrs. Apbrīnojami, kā viņš tur nokļuva – bez zīmuļa, bez papīra, bez pildspalvas, bez grāmatām, bez viedtālruņa, bez interneta! Es šeit nerunāšu par dodekaedru. Bet ikosaedriskais sudoku ir interesants. Mēs redzam šo vienreizēju 4. ilustrācijaun tā tīklu 5. att.

5. Ikozaedra regulāra sieta.

Tāpat kā iepriekš, tas nav režģis tādā nozīmē, kādā mēs atceramies (?!) no skolas laikiem, bet gan veids, kā no bumbiņām (bumbām) līmēt trīsstūrus.

2 darbs. Cik bumbiņu ir nepieciešams, lai izveidotu šādu ikosaedru? Vai joprojām ir spēkā sekojošais arguments: tā kā katra skaldne ir trīsstūris, ja ir jābūt 20 skaldnēm, tad ir vajadzīgas pat 60 sfēras?

6. Ikozaedra režģis no sfērām. Katrs aplis ir, piemēram, galda tenisa bumbiņa, bet apļu konstrukcija uz apļiem, kas atzīmēti ar vienādu krāsu, saplūst vienā. Tātad mums ir divpadsmit sfēras (= divpadsmit virsotnes: sarkana, zila, violeta, zila un astoņas dzeltenas).

Ir viegli redzēt, ka ar trim skaitļiem ikosaedrā nepietiek. Precīzāk: nav iespējams uzskaitīt virsotnes ar skaitļiem 1, 2, 3, lai katrā (trīsstūra) sejā būtu šie trīs skaitļi un nebūtu atkārtojumu. Vai tas ir iespējams ar četriem cipariem? Jā tas ir iespējams! Apskatīsim Rīsi. 6 un 7.

7. Lūk, kā numurēt sfēras, kas veido ikosaedru, lai katrā skaldnē būtu skaitļi, kas nav 1, 2, 3, 4. Kurš no ķermeņiem attēlā. 4 ir šādi krāsots?

3 darbs. Trīs no četriem skaitļiem var izvēlēties četros veidos: 123, 124, 134, 234. Atrodiet piecus šādus trīsstūrus ikozaedrā attēlā. 7 (kā arī no plkst ilustrācijas 4).

4 piešķiršana (nepieciešama ļoti laba telpiskā iztēle). Ikozaedram ir divpadsmit virsotnes, kas nozīmē, ka to var salīmēt kopā no divpadsmit bumbiņām (att. 7). Ņemiet vērā, ka ir trīs virsotnes (=bumbiņas), kas apzīmētas ar 1, trīs ar 2 un tā tālāk. Tādējādi vienas krāsas bumbiņas veido trīsstūri. Kas ir šis trīsstūris? Varbūt vienādmalu? Paskaties vēlreiz ilustrācijas 4.

Nākamais uzdevums vectēvam / vecmāmiņai un mazdēlam / mazmeitai. Beidzot savus spēkus var izmēģināt arī vecāki, taču viņiem vajadzīga pacietība un laiks.

5 darbs. Iegādājieties divpadsmit (vēlams 24) galda tenisa bumbiņas, kādas četru krāsu krāsas, otu un pareizo līmi - neiesaku ātri izmantot, piemēram, Superglue vai Droplet, jo tās pārāk ātri izžūst un ir bīstamas bērniem. Līme uz ikosaedra. Apģērbiet savu mazmeitu T-kreklā, kas tiks izmazgāts (vai izmests) tūlīt pēc tam. Pārklājiet galdu ar foliju (vēlams ar avīzēm). Uzmanīgi nokrāsojiet ikosaedru ar četrām krāsām 1, 2, 3, 4, kā parādīts attēlā. att. 7. Var mainīt secību – vispirms izkrāso balonus un tad līmē. Tajā pašā laikā sīkie apļi ir jāatstāj nenokrāsoti, lai krāsa neliptu pie krāsas.

Tagad visgrūtākais uzdevums (precīzāk, visa to secība).

6 piešķiršana (Konkrētāk, vispārīgā tēma). Uzzīmējiet ikosaedru kā tetraedru un oktaedru tālāk Rīsi. 2 un 3 Tas nozīmē, ka katrā malā jābūt četrām bumbiņām. Šajā variantā uzdevums ir gan laikietilpīgs, gan pat dārgs. Sāksim, noskaidrojot, cik daudz bumbiņu jums ir nepieciešams. Katrai sejai ir desmit sfēras, tātad ikosaedram vajag divus simtus? Nē! Jāatceras, ka daudzas bumbas tiek dalītas. Cik malu ir ikosaedram? To var rūpīgi aprēķināt, bet kam ir Eilera formula?

w–k+s=2

kur w, k, s ir attiecīgi virsotņu, šķautņu un skaldņu skaits. Mēs atceramies, ka w = 12, s = 20, kas nozīmē, ka k = 30. Mums ir 30 ikosaedra malas. Var darīt savādāk, jo, ja ir 20 trijstūri, tad tiem ir tikai 60 malas, bet divas no tām ir kopīgas.

Aprēķināsim, cik bumbiņu vajag. Katrā trīsstūrī ir tikai viena iekšējā bumba - ne mūsu ķermeņa augšdaļā, ne malā. Tādējādi mums kopā ir 20 šādas bumbas. Ir 12 virsotnes. Katrai malai ir divas bez virsotnes bumbiņas (tās atrodas malas iekšpusē, bet ne sejas iekšpusē). Tā kā ir 30 malas, ir 60 bumbiņas, bet divas no tām ir kopīgas, kas nozīmē, ka jums ir nepieciešami tikai 30 bumbiņas, tātad jums kopā ir nepieciešami 20 + 12 + 30 = 62 bumbiņas. Bumbiņas var nopirkt par vismaz 50 santīmiem (parasti dārgāk). Ja pievienosiet līmes izmaksas, tas iznāks ... daudz. Lai panāktu labu saķeri, ir nepieciešams vairāku stundu rūpīgs darbs. Kopā tie ir piemēroti relaksējošai laika pavadīšanai – iesaku nevis, piemēram, skatīties televizoru.

Atkāpšanās 1. Andžeja Vajdas filmu sērijā Gadi, dienas divi vīrieši spēlē šahu, "jo viņiem kaut kā jāpavada laiks līdz vakariņām". Tas notiek Galisijas Krakovā. Patiešām: avīzes jau izlasītas (toreiz bija 4 lapas), TV un telefons vēl nav izgudrots, futbola maču nav. Garlaicība peļķēs. Šādā situācijā cilvēki paši izdomāja izklaidi. Šodien mums tie ir pēc tālvadības pults nospiešanas ...

Atkāpšanās 2. 2019. gada Matemātikas skolotāju asociācijas sanāksmē spāņu profesors demonstrēja datorprogrammu, kas spēj krāsot masīvas sienas jebkurā krāsā. Tas bija nedaudz rāpojoši, jo viņi zīmēja tikai rokas, gandrīz nogrieza ķermeni. Pie sevis nodomāju: cik daudz jautrības var gūt no tāda "ēnojuma"? Viss aizņem divas minūtes, un ceturtajā mēs neko neatceramies. Tikmēr vecmodīgi “rokdarbi” nomierina un izglīto. Kas netic, lai pamēģina.

Atgriezīsimies XNUMX gadsimtā un mūsu realitātē. Ja negribam relaksāciju darbietilpīgas bumbiņu līmēšanas veidā, tad uzzīmēsim vismaz ikozaedra režģi, kura malās ir četras bumbiņas. Kā to izdarīt? Sasmalciniet to pareizi 6. att. Uzmanīgs lasītājs jau uzmin problēmu:

7 darbs. Vai ir iespējams uzskaitīt bumbiņas ar skaitļiem no 0 līdz 9, lai visi šie skaitļi parādītos katrā šāda ikozaedra skaldnē?

Par ko mums maksā?

Šodien mēs bieži uzdodam sev jautājumu par mūsu darbības mērķi, un "pelēkais nodokļu maksātājs" jautās, kāpēc viņam būtu jāmaksā matemātiķiem, lai viņi atrisinātu šādas mīklas?

Atbilde ir diezgan vienkārša. Šādas "puzles", kas pašas par sevi ir interesantas, ir "fragments no kaut kā nopietnāka". Galu galā militārās parādes ir tikai ārēja, iespaidīga sarežģīta dienesta sastāvdaļa. Es minēšu tikai vienu piemēru, bet sākšu ar dīvainu, bet starptautiski atzītu matemātikas priekšmetu. 1852. gadā angļu students jautāja savam profesoram, vai ir iespējams izkrāsot karti ar četrām krāsām tā, lai kaimiņvalstis vienmēr tiktu attēlotas dažādās krāsās? Ļaujiet man piebilst, ka mēs neuzskatām par "kaimiņiem" tos, kas satiekas tikai vienā punktā, piemēram, Vaiomingas un Jūtas štati ASV. Profesors nezināja... un problēma bija gaidījusi risinājumu vairāk nekā simts gadus.

8. Ikozaedrs no RECO blokiem. Zibspuldzes atstarotāji parāda, kas ikosaedram ir kopīgs ar trīsstūri un piecstūri. Pieci trīsstūri saplūst katrā virsotnē.

Tas notika negaidītā veidā. 1976. gadā grupa amerikāņu matemātiķu uzrakstīja programmu šīs problēmas risināšanai (un viņi nolēma: jā, ar četrām krāsām vienmēr pietiks). Šis bija pirmais pierādījums matemātiskajam faktam, kas iegūts ar "matemātikas mašīnas" palīdzību – tā pirms pusgadsimta sauca datoru (un vēl senāk: "elektroniskās smadzenes").

Šeit ir īpaši parādīta “Eiropas karte” (att. 9). Tās valstis, kurām ir kopīga robeža, ir savienotas. Kartes iekrāsošana ir tāda pati kā šīs diagrammas (saukta par grafiku) apļu krāsošana, lai neviens savienots aplis nebūtu vienāds. Apskatot Lihtenšteinu, Beļģiju, Franciju un Vāciju, redzams, ka ar trim krāsām nepietiek. Ja vēlaties, lasītāj, izkrāsojiet to ar četrām krāsām.

9. Kas ar kuru robežojas Eiropā?

Nu jā, bet vai tas ir nodokļu maksātāju naudas vērts? Tāpēc aplūkosim to pašu grafiku nedaudz savādāk. Aizmirstiet, ka ir valstis un robežas. Lai apļi simbolizē informācijas paketes, kas jānosūta no viena punkta uz otru (piemēram, no P uz EST), bet segmenti attēlo iespējamos savienojumus, kuriem katram ir savs joslas platums. Vai nosūtīt pēc iespējas ātrāk?

Pirmkārt, aplūkosim ļoti vienkāršotu, bet arī ļoti interesantu situāciju no matemātiskā viedokļa. Mums ir jānosūta kaut kas no punkta S (= kā sākums) uz punktu M (= jāpabeidz), izmantojot savienojuma tīklu ar tādu pašu joslas platumu, piemēram, 1. Mēs to redzam att. 10.

10. Savienojumu tīkls no Statsyika Zdrój uz Megapolis.

Iedomāsimies, ka no S uz M ir jānosūta aptuveni 89 biti informācijas. Šo vārdu autoram patīk problēmas ar vilcieniem, tāpēc viņš iedomājas, ka ir vadītājs Stacie Zdrój, no kurienes viņam jānosūta 144 vagoni. uz metropoles staciju. Kāpēc tieši 144? Jo, kā mēs redzēsim, tas tiks izmantots, lai aprēķinātu visa tīkla caurlaidspēju. Ietilpība ir 1 katrā partijā, t.i. var pabraukt viena automašīna laika vienībā (viens informācijas bits, iespējams, arī Gigabaits).

Parūpēsimies, lai visas mašīnas satiekas vienlaicīgi M. Katrs nokļūst 89 laika vienībās. Ja man ir jānosūta ļoti svarīga informācijas pakete no S līdz M, es to sadalu grupās pa 144 vienībām un izspiežu, kā norādīts iepriekš. Matemātika garantē, ka tas būs ātrākais. Kā es zināju, ka tev vajag 89? Es patiesībā uzminēju, bet, ja neuzminēju, man tas būtu jāizdomā Kirhhofa vienādojumi (vai kāds atceras? - tie ir vienādojumi, kas apraksta strāvas plūsmu). Tīkla joslas platums ir 184/89, kas ir aptuveni vienāds ar 1,62.

Par prieku

Starp citu, man patīk cipars 144. Man patika ar šo numuru autobusā braukt uz Varšavas Pils laukumu - kad blakus vēl nebija atjaunotas karaļa pils. Varbūt jaunie lasītāji zina, kas ir ducis. Tie ir 12 eksemplāri, taču tikai vecāki lasītāji atceras, ka ducis, t. 122=144, šī ir tā sauktā lote. Un to uzreiz sapratīs visi, kas matemātiku zina nedaudz vairāk par skolas programmu att. 10 mums ir Fibonači skaitļi un tīkla joslas platums ir tuvu "zelta skaitlim"

Fibonači secībā 144 ir vienīgais skaitlis, kas ir ideāls kvadrāts. Simt četrdesmit četri arī ir "priecīgs skaitlis". Tā Indijas matemātiķis amatieris Dattatreya Ramachandra Caprecar 1955. gadā viņš nosauca skaitļus, kas dalās ar to veidojošo ciparu summu:

Ja viņš to zinātu Ādams Mickevičs, viņš noteikti būtu ierakstījis nē Dzjady: “No svešas mātes; viņa asinis ir viņa vecie varoņi / Un viņa vārds ir četrdesmit četri, tikai elegantāks: Un viņa vārds ir simts četrdesmit četri.

Uztveriet izklaidi nopietni

Es ceru, ka esmu pārliecinājis lasītājus, ka Sudoku mīklas ir jautrā puse jautājumiem, kas noteikti ir pelnījuši, lai tos uztvertu nopietni. Es nevaru attīstīt šo tēmu tālāk. Ak, pilns tīkla joslas platuma aprēķins no pievienotās diagrammas att. 9 vienādojumu sistēmas uzrakstīšana prasītu divas vai vairāk stundas – varbūt pat desmitiem sekunžu (!) datora darba.