Raksts par neko

Bērnībā mani aizrāva stāsts, kas droši vien ir zināms daudziem lasītājiem, par "zupu uz naglas". Mana vecmāmiņa (XNUMX. gs. dzimšanas gads) man to stāstīja versijā “Kazaks atnāca un prasīja ūdeni, jo viņam ir nagla un viņš uz tā vārīs zupu”. Ziņkārīgā saimniece iedeva viņam katliņu ar ūdeni... un mēs zinām, kas notika tālāk: "zupai jābūt sāļai, dajie, vecmāmiņa, sāls", pēc tam viņš nomazgāja gaļu, "lai uzlabotu garšu" un tā tālāk. Beigās viņš izmeta "novārīto" naglu.

Tātad šim rakstam vajadzēja būt par kosmosa tukšumu - un tas ir par Eiropas aparāta nolaišanos uz komētas 67P / Churyumov-Gerasimenko 12. gada 2014. novembrī. Bet rakstot es padevos sen ieradumam, Es joprojām esmu matemātiķis. Kā ir ar Patīkс Nulle matemātika?

Kā nekas neeksistē?

Nevar teikt, ka nekas neeksistē. Tas pastāv vismaz kā filozofisks, matemātisks, reliģisks un perfekti sarunvalodas jēdziens. Nulle ir parasts skaitlis, nulle grādi uz termometra ir arī temperatūra, un nulles bilance bankā ir nepatīkama, bet bieži sastopama parādība. Ņemiet vērā, ka hronoloģijā nav nulles gada, un tas ir tāpēc, ka nulle matemātikā tika ieviesta tikai vēlajos viduslaikos, vēlāk nekā hronoloģija, ko ierosināja mūks Dionisijs (XNUMX. gadsimts).

Savādi, bet mēs patiešām varētu iztikt bez šīs nulles un līdz ar to bez negatīviem skaitļiem. Vienā no loģikas mācību grāmatām atradu uzdevumu: uzzīmē vai pasaki, kā tu iedomājies zivju neesamību. Apbrīnojami, vai ne? Ikviens var uzzīmēt zivi, bet ne vienu?

Tagad īsumā matemātikas pamatkurss. Esamības privilēģijas piešķiršana tukšai kopai, kas atzīmēta ar pārsvītrotu apli ∅, ir nepieciešama procedūra, kas ir analoga nulles pievienošanai skaitļu kopai. Tukša kopa ir vienīgā kopa, kurā nav neviena elementa. Šādas kolekcijas:

Bet nav divu dažādu tukšu komplektu. Tukšais komplekts ir iekļauts katrā citā komplektā:

Patiešām, matemātiskās loģikas noteikumi saka, ka kopa A ir ietverta kopā B tad un tikai tad, ja teikums:

tas ietver

Tukšās kopas ∅ gadījumā priekšlikums vienmēr ir nepatiess, un tādējādi saskaņā ar loģikas likumiem implikācija kopumā ir patiesa. Viss izriet no meliem (“šeit es izaudzēšu kaktusu, ja pāriesit uz nākamo klasi ...”). Tātad, tā kā tukšais komplekts ir ietverts katrā no pārējiem, tad, ja tie būtu divi dažādi, katrs no tiem būtu ietverts otrā. Tomēr, ja divas kopas atrodas viena otrā, tās ir vienādas. Tieši tāpēc: ir tikai viens tukšs komplekts!

Tukšas kopas pastāvēšanas postulāts nav pretrunā ar kādiem matemātikas likumiem, tad kāpēc gan to nepielietot praksē? Filozofiskais princips saucOccam skuveklis» Pavēle ​​izslēgt nevajadzīgus jēdzienus, bet tieši pareizi tukšas kopas jēdziens matemātikā ir ļoti noderīgs. Ņemiet vērā, ka tukšajai kopai ir dimensija -1 (mīnus viens) - nulles dimensijas elementi ir punkti un to retās sistēmas, viendimensijas elementi ir līnijas, un mēs runājām par ļoti sarežģītiem matemātiskiem elementiem ar fraktāļu dimensiju nodaļā par fraktāļiem. .

Interesanti, ka visa matemātikas ēka: skaitļi, skaitļi, funkcijas, operatori, integrāļi, diferenciāļi, vienādojumi ... var atvasināt no viena jēdziena - tukšas kopas! Pietiek pieņemt, ka ir tukša kopa, jaunizveidotos elementus var apvienot komplektos, lai varētu veido visu matemātiku. Tā vācu loģiķis Gotlobs Frege konstruēja naturālos skaitļus. Nulle ir kopu klase, kuras elementi ir savstarpējā atbilstībā ar tukšās kopas elementiem. Viena ir kopu klase, kuras elementi ir savstarpējā atbilstībā ar kopas elementiem, kuras vienīgais elements ir tukšā kopa. Divi ir kopu klase, kuras elementi ir viens pret vienu ar kopas elementiem, kas sastāv no tukšās kopas un kopas, kuras vienīgais elements ir tukšā kopa... un tā tālāk. No pirmā acu uzmetiena šķiet, ka tas ir kaut kas ļoti sarežģīts, bet patiesībā tā nav.

Zils pārklājās pār mani

smaržoja pēc viršiem un smaržoja pēc piparmētrām...

Vojcehs Mlinarskis, Ražas meitene

Grūti iedomāties

Nekas nav grūti iedomāties. Staņislava Lema stāstā "Kā pasaule tika izglābta" dizaineris Trurls uzbūvēja mašīnu, kas darītu visu, sākot ar burtu. Kad Klapaucius lika to uzcelt Nic, iekārta sāka izņemt no pasaules dažādus objektus – ar galīgo mērķi aizvākt visu. Kamēr izbiedētais Klapaucius apturēja mašīnu, no pasaules uz visiem laikiem bija pazudušas kambīzes, īves, karājās, haki, rīmes, sitēji, pufi, dzirnaviņas, iesmi, filidroni un salnas. Un patiešām viņi pazuda uz visiem laikiem ...

Jozefs Tišners savā Kalnu filozofijas vēsturē ļoti labi rakstīja par nebūtību. Pēdējā atvaļinājumā nolēmu piedzīvot šo niecību, proti, devos uz kūdras purviem starp Nowy Targ un Jabłonka Podhalē. Šo apgabalu pat sauc par Pustachia. Tu ej, tu ej, bet ceļš nesamazinās - protams, mūsu pieticīgajos, Polijas mērogos. Kādu dienu es braucu ar autobusu Kanādas provincē Saskačevanā. Ārā bija labības lauks. Pusstundu pagulēju. Kad pamodos, mēs braucām pa vienu un to pašu kukurūzas lauku... Bet pagaidiet, vai šis ir tukšs? Savā ziņā pārmaiņu neesamība ir tikai tukšums.

Mēs esam pieraduši pie pastāvīgas dažādu objektu klātbūtnes mums apkārt, un no kaut ko jūs nevarat aizbēgt pat ar aizvērtām acīm. "Es domāju, tātad esmu," sacīja Dekarts. Ja jau esmu kaut ko domājis, tad es eksistēju, kas nozīmē, ka pasaulē ir vismaz kaut kas (proti, es). Vai tas, ko es domāju, pastāv? Par to var runāt, bet mūsdienu kvantu mehānikā ir zināms Heizenberga princips: katrs novērojums traucē novērotā objekta stāvokli. Kamēr mēs to neredzam Nic tas neeksistē, un, kad mēs sākam meklēt, objekts pārstāj būt Patīk un tas kļūst kaut ko. Tas kļūst absurds antropiskais princips: Nav jēgas jautāt, kāda būtu pasaule, ja mēs neeksistētu. Pasaule ir tāda, kāda mums šķiet. Varbūt citas būtnes redzēs Zemi kā stūrainu?

Pozitrons (tāds pozitīvs elektrons) ir kosmosa caurums, "nav elektronu". Iznīcināšanas procesā elektrons ielec šajā bedrē un “nekas nenotiek” – nav cauruma, nav elektrona. Es izlaidīšu daudzus jokus par caurumiem Šveices sierā (“jo vairāk man ir, jo mazāk...”). Slavenais komponists Džons Keidžs savas idejas jau bija izmantojis tiktāl, ka sacerēja (?) skaņdarbu (?), kurā orķestris nekustīgi sēž 4 minūtes 33 sekundes un, protams, neko nespēlē. "Četras minūtes un trīsdesmit trīs sekundes ir divi simti septiņdesmit trīs, 273 un mīnus 273 grādi ir absolūta nulle, pie kuras apstājas visa kustība," skaidroja komponists (?).

Filtrēt uz nulli, nekas, niks, niks, nekas, nulle!

Džerijs Andžeja Vajdas filmā Gadu gaitā,

dienas iet"

Kā ar visiem?

Daudzi cilvēki (no vienkāršiem zemniekiem līdz ievērojamiem filozofiem) brīnījās par esamības fenomenu. Matemātikā situācija ir vienkārša: ir kaut kas konsekvents.

Viņa pazuda marginālajos laukos

Rudzupuķēs, nezālēs un lauvas mutēs ...

Nu notiek tādas lietas

Īpaši ražas novākšanas laikā un ražas novākšanas laikā

īpaši…

Vojcehs Mlinarskis, Ražas meitene

Viss ir otrā galējībā nekā. Matemātikā mēs to zinām Viss neeksistē. Vienkārši pārāk neprecīzs priekšstats, ka viņa eksistence būtu brīva no strīdiem. To var saprast ar vecā paradoksa piemēru: "Ja Dievs ir visvarens, tad radi akmeni, ko pacelt?" Matemātiskais pierādījums tam, ka nevar būt visu kopu kopas, balstās uz teorēmu dziedātājs-Beršteins, kurā teikts, ka "bezgalīgs skaitlis" (matemātika: kvantitatīvs cipars) visu dotās kopas dalībnieku kopa ir lielāka par šīs kopas elementu skaitu.

Ja kopai ir elementi, tad tai ir 2ⁿ apakškopas; piemēram, ja = 3 un kopa sastāv no {1, 2, 3}, tad pastāv šādas apakškopas:

• trīs divu elementu kopas: katrā no tām trūkst viena no skaitļiem 1, 2, 3,
• viens tukšs komplekts,
• trīs viena elementa komplekti,
• viss komplekts {1,2,3}

– tikai astoņi, 2³Un lasītāji, kuri nesen absolvējuši skolu, es vēlētos atgādināt atbilstošo formulu:

Katrs no Ņūtona simboliem šajā formulā nosaka k elementu kopu skaitu elementu kopā.

Matemātikā binomiālie koeficienti parādās daudzās citās vietās, piemēram, interesantās formulas samazinātai reizināšanai:

un pēc to precīzās formas to savstarpējā atkarība ir daudz interesantāka.

Grūti saprast, kas - ciktāl tas attiecas uz loģiku un matemātiku - ir un kas Viss nav. Argumenti par neesamību Gluži tāpat kā Vinnijam Pūkam, kurš pieklājīgi jautāja savam viesim Tīģerim, vai tīģeriem vispār garšo medus, zīles un dadzis? "Tīģeriem patīk viss," atbildēja tas, no kura Kubus secināja, ka, ja viņiem viss patīk, tad viņiem patīk arī gulēt uz grīdas, tāpēc viņš, Vinnijs, var atgriezties gultā.

Vēl viens arguments Rasela paradokss. Pilsētā ir frizieris, kurš skūst visus vīriešus, kuri paši neskujas. Vai viņš pats skūst? Abas atbildes ir pretrunā izvirzītajam nosacījumam, ka viņi nogalina tos un tikai tos, kuri paši to nedara.

Meklē visu kolekciju kolekciju

Nobeigumā došu gudru, bet matemātiskāko pierādījumu tam, ka nav visu kopu kopas (ar to nejaukt).

Pirmkārt, mēs parādīsim, ka jebkurai kopai X, kas nav tukša, nav iespējams atrast savstarpēji unikālu funkciju, kas kartētu šo kopu ar tās apakškopu kopu P(X). Tātad pieņemsim, ka šī funkcija pastāv. Apzīmēsim to ar tradicionālo f. Kas ir f no x? Šī ir kolekcija. Vai xf pieder x? Tas nav zināms. Vai nu vajag, vai nevajag. Bet kādam x tam tomēr ir jābūt tādam, lai tas nepiederētu pie f no x. Tad apsveriet visu x kopu, kurai x nepieder f(x). Apzīmē to (šo kopu) ar A. Tas atbilst kādam kopas X elementam a. Vai a pieder pie A? Pieņemsim, ka vajadzētu. Bet A ir kopa, kurā ir tikai tie x elementi, kas nepieder f(x) ... Nu, varbūt tā nepieder pie A? Bet kopa A satur visus šīs īpašības elementus un līdz ar to arī A. Pierādījuma beigas.

Tāpēc, ja pastāvētu visu kopu kopa, tā pati par sevi būtu apakškopa, kas saskaņā ar iepriekšējo argumentāciju nav iespējama.

Fu, domāju, ka daudzi lasītāji nav redzējuši šo pierādījumu. Drīzāk es to izvirzīju, lai parādītu, kas matemātiķiem bija jādara deviņpadsmitā gadsimta beigās, kad viņi sāka pētīt savas zinātnes pamatus. Izrādījās, ka problēmas slēpjas tur, kur neviens tās nebija gaidījis. Turklāt visai matemātikai šiem argumentiem par bāzēm nav nozīmes: lai kas arī notiktu pagrabos - visa matemātikas ēka stāv uz pamatīgas klints.

Tikmēr augšpusē...

Mēs atzīmējam vēl vienu morāli no Staņislava Lema stāstiem. Kādā no saviem ceļojumiem Ijons Tiči sasniedza planētu, kuras iemītnieki pēc ilgas evolūcijas beidzot sasniedza augstāko attīstības pakāpi. Viņi visi ir spēcīgi, viņi var visu, viņiem viss ir rokas stiepiena attālumā… un viņi neko nedara. Viņi apgūlās uz smiltīm un ieber tās starp pirkstiem. "Ja viss ir iespējams, tas nav tā vērts," viņi skaidro šokētajam Ijonam. Lai tas nenotiek ar mūsu Eiropas civilizāciju...