Šifrētāji un spiegi
Šodienas matemātikas stūrītī es apskatīšu tēmu, ko apspriedu Nacionālā bērnu fonda ikgadējā Zinātnes nometnē bērniem. Fonds meklē bērnus un jauniešus ar zinātniskām interesēm. Jums nav jābūt ārkārtīgi apdāvinātam, taču jums ir jābūt "zinātniskai virzībai". Ļoti labas skolas atzīmes nav vajadzīgas. Izmēģiniet to, jums tas varētu patikt. Ja esi vecāko pamatskolas vai vidusskolas skolnieks, piesakies. Parasti ziņojumus sagatavo vecāki vai skola, taču tas ne vienmēr notiek. Atrodiet fonda vietni un uzziniet.
Skolā arvien vairāk tiek runāts par "kodēšanu", atsaucoties uz darbību, kas agrāk bija zināma kā "programmēšana". Tā ir izplatīta procedūra teorētiskajiem pedagogiem. Viņi izrok vecās metodes, dod tām jaunu nosaukumu, un "progress" notiek pats no sevis. Ir vairākas jomas, kurās notiek šāda cikliska parādība.
Var secināt, ka es devalvēju didaktiku. Nē. Civilizācijas attīstībā mēs dažkārt atgriežamies pie tā, kas bija, tika pamests un tagad tiek atdzīvināts. Bet mūsu stūrītis ir matemātisks, nevis filozofisks.
Piederība noteiktai kopienai nozīmē arī "kopīgus simbolus", kopīgus lasījumus, teicienus un līdzības. Tas, kurš lieliski apguvis poļu valodu “Ščebžešinā ir liels biezoknis, niedrēs dūc vabole”, uzreiz tiks atmaskots kā svešas valsts spiegs, ja neatbildēs uz jautājumu, ko dara dzenis. Protams, ka viņš smacē!
Tas nav tikai joks. 1944. gada decembrī vācieši uzsāka savu pēdējo ofensīvu Ardēnās ar lieliem izdevumiem. Viņi mobilizēja karavīrus, kuri brīvi runāja angļu valodā, lai traucētu sabiedroto karaspēka pārvietošanos, piemēram, krustcelēs vedot tos nepareizā virzienā. Pēc pārsteiguma brīža amerikāņi sāka uzdot karavīriem aizdomīgus jautājumus, uz kuriem atbildes būtu pašsaprotamas cilvēkam no Teksasas, Nebraskas vai Džordžijas un neiedomājamas kādam, kurš tur nav audzis. Nezināšana par realitāti noveda tieši pie nāvessoda.
Līdz punktam. Lasītājiem iesaku Lukaša Badovska un Zaslava Adamasheka grāmatu “Laboratorija rakstāmgalda atvilktnē – matemātika”. Šī ir brīnišķīga grāmata, kas lieliski parāda, ka matemātika kaut kam patiešām noder un ka "matemātikas eksperiments" nav tukši vārdi. Tajā cita starpā iekļauta aprakstītā "kartona mīkla" konstrukcija – ierīce, kuras izveidošanai mums būs nepieciešamas tikai piecpadsmit minūtes un kura darbojas kā nopietna šifrēšanas mašīna. Pati ideja bija tik zināma, pieminētie autori to smuki atstrādāja, un es to mazliet pamainīšu un ietīšu matemātiskākās drēbēs.
metāla zāģi
Vienā no mana vasarnīcas ciema ielām Varšavas priekšpilsētā nesen tika demontēts bruģis no “trlinka” - sešstūra bruģakmens plāksnēm. Brauciens bija neērts, bet matemātiķa dvēsele priecājās. Nosegt plakni ar regulāriem (t.i. regulāriem) daudzstūriem nav viegli. Tas var būt tikai trīsstūri, kvadrāti un regulāri sešstūri.
Varbūt es mazliet pajokoju ar šo garīgo prieku, bet sešstūris ir skaista figūra. No tā jūs varat izveidot diezgan veiksmīgu šifrēšanas ierīci. Ģeometrija palīdzēs. Sešstūrim ir rotācijas simetrija – tas pārklājas pats, ja to pagriež par 60 grādiem. Lauks, kas atzīmēts, piemēram, ar burtu A augšējā kreisajā stūrī att. 1 pēc pagriešanas caur šo leņķi tas arī iekritīs A lodziņā - un tas pats ar citiem burtiem. Tātad no režģa izgriezīsim sešus kvadrātus, katrs ar citu burtu. Šādā veidā iegūto režģi uzliekam uz papīra lapas. Brīvajos sešos laukos ievadiet sešus teksta burtus, ko vēlamies šifrēt. Pagriezīsim lapu par 60 grādiem. Parādīsies seši jauni lauki - ievadiet nākamos sešus mūsu ziņojuma burtus.
Rīsi. 1. Matemātikas prieka saites.
Pa labi att. 1 mums ir teksts, kas iekodēts šādi: "Stacijā ir milzīga smaga tvaika lokomotīve."
Tagad noderēs neliela skolas matemātika. Cik dažādos veidos var sakārtot divus skaitļus attiecībā pret otru?
Kāds stulbs jautājums? Diviem: vai nu viens priekšā, vai otrs.
Labi. Un trīs skaitļi?
Nav arī grūti uzskaitīt visus iestatījumus:
123., 132., 213., 231., 312., 321.
Nu, tas ir četriem! To joprojām var skaidri formulēt. Uzminiet pasūtījuma likumu, ko es ievietoju:
1234, 1243, 1423, 4123, 1324, 1342,
1432, 4132, 2134, 2143, 2413, 4213,
2314, 2341, 2431, 4231, 3124, 3142,
3412, 4312, 3214, 3241, 3421, 4321
Kad cipari ir pieci, mēs iegūstam 120 iespējamos iestatījumus. Sauksim viņus permutācijas. Iespējamo n skaitļu permutāciju skaits ir reizinājums 1 2 3 ... n, izsaukts spēcīgs un atzīmēts ar izsaukuma zīmi: 3!=6, 4!=24, 5!=120. Nākamajam skaitlim 6 mums ir 6!=720. Mēs to izmantosim, lai padarītu mūsu sešstūra šifra vairogu sarežģītāku.
Mēs izvēlamies skaitļu permutāciju no 0 līdz 5, piemēram, 351042. Mūsu sešstūra šifrēšanas diskam ir domuzīme vidējā laukā - lai to varētu novietot "nulles pozīcijā" - svītra uz augšu, kā attēlā. 1. Uzliekam disku šādā veidā uz papīra lapas, uz kuras jāraksta atskaite, bet nerakstām uzreiz, bet pagriežam trīs reizes par 60 grādiem (ti, par 180 grādiem) un ievadām sešus burtus. tukšos laukus. Mēs atgriežamies sākuma stāvoklī. Mēs pagriežam ciparnīcu piecas reizes par 60 grādiem, tas ir, par pieciem mūsu ciparnīcas "zobiem". Mēs drukājam. Nākamā skalas pozīcija ir pozīcija, kas pagriezta par 60 grādiem ap nulli. Ceturtā pozīcija ir 0 grādi, šī ir sākuma pozīcija.
Vai jūs saprotat, kas noticis? Mums ir papildu iespēja - sarežģīt mūsu "mašīnu" vairāk nekā septiņsimt reižu! Tātad, mums ir divas neatkarīgas "automāta" pozīcijas - režģa izvēle un permutācijas izvēle. Režģi var izvēlēties 66 = 46656 veidos, permutācija 720. Tas dod 33592320 iespējas. Vairāk nekā 33 miljoni šifru! Gandrīz nedaudz mazāk, jo dažus režģus nevar izgriezt no papīra.
Apakšējā daļā att. 1 mums ir ziņojums, kas kodēts šādi: "Es sūtu jums četras izpletņu divīzijas." Ir viegli saprast, ka ienaidniekam nevajadzētu ļaut par to uzzināt. Bet vai viņš kaut ko sapratīs no tā:
ТПОРОПВМАНВЕОРДИЗЗ
YYLOAKVMDEYCHESH,
pat ar parakstu 351042?
Mēs būvējam vācu šifrēšanas mašīnu Enigma
Rīsi. 2. Mūsu šifrēšanas iekārtas sākotnējās iestatīšanas piemērs.
Permutācijas (AF) (BJ) (CL) (DW) (EI) (GT) (HO) (KS) (MX) (NU) (PZ) (RY).
Kā jau minēju, ideju par šādas kartona mašīnas izveidi esmu parādā grāmatai "Laboratorija atvilktnē - matemātika". Mana “konstrukcija” nedaudz atšķiras no tās autoru sniegtās.
Šifrēšanas mašīnai, ko vācieši izmantoja kara laikā, bija ģeniāli vienkāršs princips, nedaudz līdzīgs tam, ko redzējām ar sešstūra šifru. Katru reizi viens un tas pats: pārtraukt grūtās vēstules piešķiršanu citai vēstulei. Tam jābūt nomaināmam. Kā to izdarīt, lai varētu to kontrolēt?
Izvēlēsimies nevis jebkuru permutāciju, bet tādu, kuras cikli ir 2. Vienkārši sakot, kaut kas līdzīgs šeit aprakstītajam "Gaderipoluk" pirms dažiem mēnešiem, bet aptver visus alfabēta burtus. Vienosimies par 24 burtiem - bez ą, ę, ć, ó, ń, ś, ó, ż, ź, v, q. Cik daudz šādu permutāciju? Tas ir vidusskolas absolventu uzdevums (to vajadzētu atrisināt uzreiz). Cik daudz? Daudz? Vairāki tūkstoši? Jā:
1912098225024001185793365052108800000000 (pat nemēģināsim nolasīt šo numuru). Ir tik daudz iespēju iestatīt "nulles" pozīciju. Un tas var būt grūti.
Mūsu mašīna sastāv no diviem apaļiem diskiem. Uz vienas no tām, kas joprojām stāv, ir rakstītas vēstules. Tas ir mazliet kā veca tālruņa ciparnīca, kurā jūs sastādiet numuru, pagriežot ciparnīcu līdz galam. Rotary ir otrais ar krāsu shēmu. Vienkāršākais veids ir uzlikt tos uz parastā korķa, izmantojot tapu. Korķa vietā varat izmantot plānu dēli vai biezu kartonu. Lukašs Badovskis un Zaslavs Adamašeks iesaka abus diskus ievietot kompaktdisku kastē.
Iedomājieties, ka mēs vēlamies iekodēt vārdu ARMATY (Rīsi. 2 un 3). Iestatiet ierīci nulles pozīcijā (uz augšu vērsta bultiņa). Burts A atbilst F. Pagrieziet iekšējo ķēdi vienu burtu pa labi. Mums ir jākodē burts R, tagad tas atbilst A. Pēc nākamās pagriešanas mēs redzam, ka burts M atbilst U. Nākamais pagriešana (ceturtā diagramma) dod atbilstību A - P. Piektajā ciparnīcā mums ir T. - A. Visbeidzot (sestais aplis) J – J Ienaidnieks droši vien nenojaus, ka mūsu CFCFA viņam būs bīstami. Un kā “mūsējie” lasīs sūtījumu? Viņiem jābūt vienai un tai pašai mašīnai, tai pašai "ieprogrammētai", tas ir, ar vienādu permutāciju. Šifrs sākas no nulles pozīcijas. Tātad F vērtība ir A. Pagrieziet pogu pulksteņrādītāja virzienā. Burts A tagad ir saistīts ar R. Viņš pagriež ciparnīcu pa labi un zem burta U atrod M utt. Šifrēšanas darbinieks skrien pie ģenerāļa: "Ģenerāl, es ziņoju, ieroči nāk!"
Rīsi. 3. Mūsu darba Enigma darbības princips.
| Rīsi. 3. Mūsu darba Enigma darbības princips. | ||
Pat tik primitīvas Enigmas iespējas ir pārsteidzošas. Mēs varam izvēlēties citas izvades permutācijas. Mēs varam - un šeit ir vēl vairāk iespēju - nevis ar vienu “serifu” regulāri, bet noteiktā, katru dienu mainīgā secībā, līdzīgi kā sešstūrī (piemēram, vispirms trīs burti, pēc tam septiņi, pēc tam astoņi, četri ... .. utt.).
Kā var uzminēt?! Un tomēr poļu matemātiķiem (Marians Reevskis, Henriks Žigaļskis, Džežijs Ružickis) noticis. Šādi iegūtā informācija bija nenovērtējama. Iepriekš viņiem bija tikpat nozīmīgs ieguldījums mūsu aizsardzības vēsturē. Vāclavs Serpinskis i Staņislavs Mazurkevičskurš 1920. gadā pārkāpa Krievijas karaspēka kodeksu. Pārtvertais kabelis deva Pilsudskim iespēju veikt slaveno manevru no Vepsas upes.
Atceros Vaslavu Sierpinski (1882-1969). Viņš šķita matemātiķis, kuram ārpasaule neeksistē. Par piedalīšanos 1920. gada uzvarā viņš nevarēja runāt gan militāru, gan ... politisku apsvērumu dēļ (Polijas Tautas Republikas varai nepatika tie, kas mūs aizstāvēja no Padomju Savienības).
Rīsi. 4. Permutācija (AP) (BF) (CM) (DS) (EW) (GY) (HK) (IU) (JX) (LZ) (NR) (OT).
Rīsi. 5. Skaista dekorācija, bet nav piemērota šifrēšanai. Pārāk regulāri.
1 darbs. Na att. 4 jums ir vēl viena permutācija, lai izveidotu Enigma. Kopējiet zīmējumu uz kserogrāfu. Uzbūvē auto, iekodē savu vārdu un uzvārdu. Mans CWONUE JTRYGT. Ja vēlaties saglabāt savas piezīmes privātas, izmantojiet Cardboard Enigma.
2 darbs. Šifrējiet savu vārdu un uzvārdu vienai no redzētajām "mašīnām", bet (uzmanību!) ar papildu sarežģījumu: mēs griežam nevis vienu robu pa labi, bet pēc shēmas {1, 2, 3, 2, 1, 2, 3, 2, 1, ....} - tas ir, vispirms pa vienam, tad diviem, tad trīs, tad 2, tad atkal 1, tad 2 utt., tāds “vilnis” . Pārliecinieties, vai mans vārds un uzvārds ir šifrēti kā CZTTAK SDBITH. Tagad jūs saprotat, cik spēcīga bija Enigma mašīna?
Problēmu risināšana vidusskolu absolventiem. Cik konfigurācijas opciju Enigma (šajā versijā, kā aprakstīts rakstā)? Mums ir 24 burti. Mēs izvēlamies pirmo burtu pāri - to var izdarīt tālāk
veidus. Nākamo pāri var izvēlēties
veidi, vairāk
utt. Pēc atbilstošajiem aprēķiniem (visi skaitļi ir jāreizina), mēs iegūstam
151476660579404160000
Tad daliet šo skaitli ar 12! (12 faktoriāli), jo vienus un tos pašus pārus var iegūt citā secībā. Tātad galu galā mēs iegūstam "kopā"
316234143225,
tas ir nedaudz vairāk par 300 miljardiem, kas mūsdienu superdatoriem nešķiet satriecoši liels skaitlis. Tomēr, ja ņem vērā pašu permutāciju nejaušo secību, šis skaitlis ievērojami palielinās. Varam domāt arī par cita veida permutācijām.
Skatīt arī:
