Ceļojums nereālajā matemātikas pasaulē

Es uzrakstīju šo rakstu vienā no vidēm pēc lekcijas un prakses datorzinātņu koledžā. Aizstāvos pret kritiku, kas vērsta pret šīs skolas audzēkņiem, viņu zināšanām, attieksmi pret zinātni un, galvenais, mācīšanas prasmēm. Šis... neviens viņiem nemāca.

Kāpēc es esmu tik aizsargājošs? Vienkārša iemesla dēļ – esmu vecumā, kad, iespējams, pasaule mums apkārt vēl nav izprasta. Varbūt es viņiem mācu iejūgt un atvilkt zirgus, nevis braukt ar mašīnu? Varbūt es viņiem mācu rakstīt ar spalvu pildspalvu? Lai gan man ir labāks viedoklis par cilvēku, es uzskatu sevi par "sekotāju", bet…

Vēl nesen vidusskolā viņi runāja par kompleksajiem skaitļiem. Un tieši šajā trešdienā es atnācu mājās, pametu - gandrīz neviens no skolēniem vēl nav iemācījies, kas tas ir un kā lietot šos ciparus. Daži uz visu matemātiku skatās kā uz zosu uz krāsotām durvīm. Bet es biju arī patiesi pārsteigts, kad viņi man teica, kā mācīties. Vienkārši sakot, katra lekcijas stunda ir divas stundas mājasdarba: mācību grāmatas lasīšana, uzdevumu risināšanas mācīšanās par noteiktu tēmu utt. Šādi gatavojušies nonākam pie vingrinājumiem, kur visu uzlabojam... Patīkami, ka studenti, acīmredzot, domāja, ka sēdēšana lekcijā – visbiežāk skatīšanās pa logu – jau garantē zināšanu ienākšanu galvā.

Stop! Pietiek ar šo. Es aprakstīšu savu atbildi uz jautājumu, ko saņēmu nodarbībā ar stipendiātiem no Nacionālā bērnu fonda, iestādes, kas atbalsta talantīgus bērnus no visas valsts. Jautājums (vai drīzāk ieteikums) bija šāds:

— Vai jūs varētu kaut ko pastāstīt par nereāliem skaitļiem?

"Protams," es atbildēju. 

Skaitļu realitāte

"Draugs ir cits es, draudzība ir skaitļu 220 un 284 attiecība," sacīja Pitagors. Lieta ir tāda, ka skaitļa 220 dalītāju summa ir 284, bet skaitļa 284 dalītāju summa ir 220:

1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220

1 + 2 + 4 + 5 + 10 = 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284. Starp citu, mēs atzīmējam, ka Bībeles Jēkabs Ēzavam kā draudzības zīmi iedeva 220 aitas un aunus (32. Mozus 14:XNUMX). ).

Vēl viena interesanta sakritība starp skaitļiem 220 un 284 ir šāda: septiņpadsmit lielākie pirmskaitļi ir 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53 , un 59.

To summa ir 2x220, un kvadrātu summa ir 59x284.

Pirmkārt. Nav jēdziena "reālais skaitlis". Tas ir tāpat kā pēc raksta par ziloņiem izlasīšanas, tu jautā: "Tagad mēs lūgsim ne ziloņus." Ir veseli un neveseli, racionāli un iracionāli, bet nav nereālu. Konkrēti: skaitļi, kas nav īsti, netiek saukti par nederīgiem. Matemātikā ir daudz veidu "skaitļu", un tie atšķiras viens no otra, piemēram - ja zooloģiski salīdzina - zilonis un slieka.

Otrkārt, mēs veiksim darbības, par kurām jūs, iespējams, jau zināt, ka tās ir aizliegtas: negatīvu skaitļu kvadrātsakņu izvilkšana. Nu, matemātika pārvarēs šādas barjeras. Vai tomēr ir jēga? Matemātikā, tāpat kā jebkurā citā zinātnē, tas, vai teorija uz visiem laikiem nonāk zināšanu krātuvē, ir atkarīgs ... no tās pielietojuma. Ja nekam neder, tad nonāk miskastē, tad kaut kādās zināšanu vēstures miskastēs. Bez skaitļiem, par kuriem es runāju šī raksta beigās, nav iespējams attīstīt matemātiku. Bet sāksim ar dažām mazām lietām. Kas ir reālie skaitļi, jūs zināt. Tie blīvi un bez atstarpēm aizpilda skaitļu līniju. Jūs arī zināt, kas ir naturālie skaitļi: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, …….. — tie visi neiederēsies atmiņa pat vislielākā. Viņiem ir arī skaists nosaukums: dabīgs. Viņiem ir tik daudz interesantu īpašību. Kā jums patīk šis:

1 + 15 + 42 + 98 + 123 + 179 + 206 + 220 = 3 + 11 + 46 + 92 + 129 + 175 + 210 + 218

1² + 15² + 42² + 98² + 123² + 179² + 206² + 220² = 3² + 11² + 46² + 92² + 129² + 175² + 210² + 218²

1³ + 15³ + 42³ + 98³ + 123³ + 179³ + 206³ + 220³ = 3³ + 11³ + 46³ + 92³ + 129³ + 175³ + 210³ + 218³

1⁴ + 15⁴ + 42⁴ + 98⁴ + 123⁴ + 179⁴ + 206⁴ + 220⁴ = 3⁴ + 11⁴ + 46⁴ + 92⁴ + 129⁴ + 175⁴ + 210⁴ + 218⁴

1⁵ + 15⁵ + 42⁵ + 98⁵ + 123⁵ + 179⁵ + 206⁵ + 220⁵ = 3⁵ + 11⁵ + 46⁵ + 92⁵ + 129⁵ + 175⁵ + 210⁵ + 218⁵

1⁶ + 15⁶ + 42⁶ + 98³ + 123⁶ + 179⁶ + 206⁶ + 220⁶ = 3⁶ + 11⁶ + 46⁶ + 92⁶ + 129⁶ + 175⁶ + 210⁶ + 218⁶

1⁷ + 15⁷ + 42⁷ + 98³ + 123⁷ + 179⁷ + 206⁷ + 220⁷ = 3⁷ + 11⁷ + 46⁷ + 92⁷ + 129⁷ + 175⁷ + 210⁷ + 218⁷

"Ir dabiski interesēties par naturālajiem skaitļiem," sacīja Kārlis Lindenholms, un Leopolds Kronekers (1823–1891) to teica īsi: "Dievs radīja naturālos skaitļus — viss pārējais ir cilvēka darbs!" Daļskaitļiem (matemātiķi tos sauc par racionāliem skaitļiem) ir arī pārsteidzošas īpašības:

un vienlīdzībā:

jūs varat, sākot no kreisās puses, berzēt plusus un aizstāt tos ar reizināšanas zīmēm - un vienādība paliks patiesa:

Un tā tālāk.

Kā jūs zināt, daļām a/b, kur a un b ir veseli skaitļi un b ≠ 0, viņi saka racionāls skaitlis. Bet tikai poļu valodā viņi sevi tā sauc. Viņi runā angļu, franču, vācu un krievu valodā. racionāls skaitlis. Angļu valodā: racionāli skaitļi. Iracionāli skaitļi tas ir neracionāli, neracionāli. Mēs arī runājam poļu valodā par iracionālām teorijām, idejām un darbiem - tas ir vājprāts, iedomāts, neizskaidrojams. Saka, ka sievietes baidās no pelēm – vai tas nav tik neracionāli?

Senatnē skaitļiem bija dvēsele. Katrs kaut ko nozīmēja, katrs kaut ko simbolizēja, katrs atspoguļoja daļiņu no šīs Visuma harmonijas, tas ir, grieķu valodā, Kosmoss. Pats vārds "kosmoss" nozīmē tieši "kārtība, kārtība". Svarīgākie bija seši (ideāls skaitlis) un desmit, secīgo skaitļu 1+2+3+4 summa, ko veido citi skaitļi, kuru simbolika saglabājusies līdz mūsdienām. Tātad Pitagors mācīja, ka skaitļi ir visa sākums un avots, un tikai atklājums iracionāli skaitļi pagrieza Pitagora kustību ģeometrijas virzienā. Mēs zinām to pamatojumu no skolas

√2 ir neracionāls skaitlis

Jo pieņemsim, ka ir: un ka šo daļu nevar samazināt. Jo īpaši gan p, gan q ir nepāra. Kvadrātēsim: 2q²=p². Skaitlis p nevar būt nepāra, kopš tā laika p² arī būtu, un vienādības kreisā puse ir 2 daudzkārtnis. Tādējādi p ir pāra, t.i., p = 2r, tātad p²= 4r². Mēs samazinām vienādojumu 2q²= 4r² ar 2. Iegūstam q²= 2r² un mēs redzam, ka arī q ir jābūt pāra, ko mēs pieņēmām, ka tas tā nav. Iegūtā pretruna pabeidz pierādījumu - šo formulu bieži var atrast katrā matemātikas grāmatā. Šis netiešais pierādījums ir sofistu iecienīts triks.

Šo neizmērojamību pitagorieši nevarēja saprast. Visu būtu jāspēj aprakstīt ar skaitļiem, un kvadrāta diagonālei, kuru ikviens var uzzīmēt ar kociņu smiltīs, nav, tas ir, izmērāma garuma. "Mūsu ticība bija veltīga," šķiet, saka pitagorieši. Kā tā? Tas ir kaut kā... neracionāli. Savienība mēģināja sevi glābt ar sektantiskām metodēm. Ikviens, kurš uzdrošinās atklāt savu eksistenci iracionāli skaitļi, bija paredzēts sodīt ar nāvi, un, acīmredzot, pirmo spriedumu izpildīja pats meistars.

Bet "doma pagāja neskarta". Zelta laikmets ir pienācis. Grieķi uzvarēja persiešus (maratons 490, bloks 479). Nostiprinājās demokrātija, radās jauni filozofiskās domas centri un jaunas skolas. Pitagorieši joprojām cīnījās ar neracionāliem skaitļiem. Daži sludināja: mēs nesapratīsim šo noslēpumu; mēs varam tikai apcerēt un brīnīties par Uncharted. Pēdējie bija pragmatiskāki un nerespektēja Mistēriju. Toreiz parādījās divas mentālās konstrukcijas, kas ļāva saprast iracionālus skaitļus. Tas, ka mēs šodien tos saprotam pietiekami labi, pieder Eudoksam (XNUMX. gs. p.m.ē.), un tikai XNUMX. gadsimta beigās vācu matemātiķis Ričards Dedekinds deva Eudoksa teorijai pareizu attīstību saskaņā ar stingrajām prasībām. matemātiskā loģika.

Figūru masa vai spīdzināšana

Vai jūs varētu dzīvot bez cipariem? Kaut vai kāda būtu dzīve... Būtu jāiet uz veikalu nopirkt kurpes ar nūju, kurai iepriekš izmērījām pēdas garumu. "Es gribētu ābolus, ak, lūk!" – mēs parādītu pārdevējus tirgū. "Cik tālu ir no Modlinas līdz Nowy Dwur Mazowiecki"? “Diezgan tuvu!”

Mērīšanai izmanto skaitļus. Ar viņu palīdzību mēs izsakām arī daudzus citus jēdzienus. Piemēram, kartes mērogs parāda, cik daudz valsts platība ir samazinājusies. Skala divi pret vienu vai vienkārši 2 izsaka faktu, ka kaut kas ir dubultojies. Teiksim matemātiski: katrai viendabībai atbilst skaitlis – tā skala.

Uzdevums. Izgatavojām kserogrāfisko kopiju, vairākas reizes palielinot attēlu. Pēc tam palielinātais fragments atkal tika palielināts b reizes. Kāda ir vispārējā palielinājuma skala? Atbilde: a × b reizināts ar b. Šīs skalas ir jāreizina. Skaitlis "mīnus viens" -1 atbilst vienai precizitātei, kas ir centrēta, t.i., pagriezta par 180 grādiem. Kāds skaitlis atbilst 90 grādu pagriezienam? Tāda numura nav. Tā ir, tā ir... vai drīzāk drīz būs. Vai esat gatavs morālai spīdzināšanai? Esiet drosmīgs un paņemiet kvadrātsakni no mīnus viens. es klausos? Ko tu nevari? Galu galā es tev teicu, lai esi drosmīgs. Izvelc to ārā! Hei, nu, velciet, velciet... Es palīdzēšu... Lūk: -1 Tagad, kad tas ir, mēģināsim to izmantot... Protams, tagad mēs varam izvilkt visu negatīvo skaitļu saknes, piemērs.:

√-4 = 2√-1, √-16 = 4√-1

"Neatkarīgi no garīgajām mokām, ko tas rada." To 1539. gadā rakstīja Žirolamo Kardano, cenšoties pārvarēt garīgās grūtības, kas saistītas ar — kā to drīz sāka saukt — iedomātie lielumi. Viņš uzskatīja šīs...

...Uzdevums. Sadaliet 10 divās daļās, kuru reizinājums ir 40. Atceros, ka no iepriekšējās epizodes viņš rakstīja apmēram tā: Noteikti neiespējami. Tomēr darīsim tā: sadaliet 10 divās vienādās daļās, katra vienāda ar 5. Reiziniet tos - izrādījās 25. No iegūtajiem 25 tagad atņemiet 40, ja vēlaties, un jūs saņemsiet -15. Tagad paskatieties: √-15 pievienojot un atņemot no 5, iegūstat reizinājumu ar 40. Tie ir skaitļi 5-√-15 un 5 + √-15. Rezultāta pārbaudi Cardano veica šādi:

“Neatkarīgi no sirdssāpēm, ko tas rada, reiziniet 5 + √-15 ar 5-√-15. Mēs iegūstam 25 - (-15), kas ir vienāds ar 25 + 15. Tātad reizinājums ir 40 .... Tas ir patiešām grūti."

Nu, cik ir: (1 + √-1) (1-√-1)? Reizināsim. Atcerieties, ka √-1 × √-1 = -1. Lieliski. Tagad grūtāks uzdevums: no a + b√-1 līdz ab√-1. Kas notika? Protams, šādi: (a + b√-1) (ab√-1) = a²+b²

Kas tur interesants? Piemēram, tas, ka mēs varam faktorizēt izteicienus, kurus mēs "iepriekš nezinājām". Saīsinātā reizināšanas formula priekš²-b² Vai atceries formulu, lai²+b² tā nebija, jo tā nevarēja būt. Reālo skaitļu jomā polinoms²+b² tas ir neizbēgami. Apzīmēsim "mūsu" kvadrātsakni no "mīnus viens" ar burtu i.²= -1. Tas ir "nereāls" pirmskaitlis. Un tas raksturo lidmašīnas pagriezienu par 90 grādiem. Kāpēc? Galu galā,²= -1, un, apvienojot vienu 90 grādu pagriešanu un otru 180 grādu pagriešanu, iegūst 45 grādu pagriešanu. Kāds rotācijas veids tiek aprakstīts? Acīmredzot XNUMX grādu pagrieziens. Ko nozīmē -i? Tas ir nedaudz sarežģītāk:

(-es)² = -i × (-i) = +i² = -1

Tātad -i apraksta arī 90 grādu rotāciju, tieši pretējā virzienā i rotācijai. Kurš ir pa kreisi un kurš ir pa labi? Jums ir jāvienojas par tikšanos. Mēs pieņemam, ka skaitlis i norāda griešanos virzienā, kuru matemātiķi uzskata par pozitīvu: pretēji pulksteņrādītāja virzienam. Skaitlis -i apraksta rotāciju virzienā, kurā virzās rādītāji.

Bet vai tādi skaitļi kā i un -i pastāv? Ir! Mēs tos vienkārši atdzīvinājām. es klausos? Ka tās pastāv tikai mūsu galvā? Nu ko gaidīt? Arī visi pārējie skaitļi pastāv tikai mūsu prātā. Mums jāredz, vai mūsu jaundzimušo skaits izdzīvo. Precīzāk, vai dizains ir loģisks un vai tie kaut kam noderēs. Lūdzu, ņemiet vērā, ka viss ir kārtībā un šie jaunie numuri ir patiešām noderīgi. Tādus skaitļus kā 3+i, 5-7i, vispārīgāk: a+bi sauc par kompleksajiem skaitļiem. Es parādīju, kā tos var iegūt, griežot lidmašīnu. Tos var ievadīt dažādos veidos: kā punktus plaknē, kā dažus polinomus, kā kaut kādus skaitļu masīvus... un katru reizi tie ir vienādi: vienādojums x² +1=0 nav elementa... hocus pocus jau ir!!!! Priecāsimies un priecājamies!!!

Ekskursijas beigas

Ar to mūsu pirmā ekskursija pa viltus numuru valsti ir noslēgusies. No citiem nepasaulīgajiem skaitļiem pieminēšu arī tos, kuriem ir bezgalīgs ciparu skaits priekšā, nevis aizmugurē (tos sauc par 10-adic, mums svarīgāki ir p-adic, kur p ir pirmskaitlis), jo piemērs X = … … … 96109004106619977392256259918212890625

Saskaitīsim X lūdzu². Kā? Ko darīt, ja mēs aprēķinām skaitļa kvadrātu, kam seko bezgalīgs ciparu skaits? Nu, darīsim tāpat. Mēs zinām, ka x² = X.

Atradīsim vēl vienu šādu skaitli ar bezgalīgu skaitu ciparu priekšā, kas atbilst vienādojumam. Padoms: skaitļa kvadrāts, kas beidzas ar sešiem, arī beidzas ar sešiem. Skaitļa kvadrāts, kas beidzas ar 76, beidzas arī ar 76. Skaitļa kvadrāts, kas beidzas ar 376, beidzas arī ar 376. Skaitļa kvadrāts, kas beidzas ar 9376, arī beidzas ar 9376. Skaitļa kvadrāts, kas beidzas ar XNUMX uz… Ir arī skaitļi, kas ir tik mazi, ka, būdami pozitīvi, tie paliek mazāki par jebkuru citu pozitīvu skaitli. Tie ir tik niecīgi, ka dažreiz pietiek ar to kvadrātu, lai iegūtu nulli. Ir skaitļi, kas neatbilst nosacījumam a × b = b × a. Ir arī bezgalīgi skaitļi. Cik naturālu skaitļu ir? Bezgala daudz? Jā, bet cik daudz? Kā to var izteikt kā skaitli? Atbilde: mazākais no bezgalīgajiem skaitļiem; tas apzīmēts ar skaistu burtu: A un papildināts ar nulles indeksu A₀ , aleph-nulle.

Ir arī skaitļi, par kuriem mēs nezinām... vai kuriem jūs varat ticēt vai neticēt, kā vēlaties. Un runājot par līdzīgiem: es ceru, ka jums joprojām patīk Unreal Numbers, Fantasy Species Numbers.