Kāpēc mēs nedalām ar nulli?

Lasītāji var brīnīties, kāpēc es visu rakstu veltīju tik banālam jautājumam? Iemesls ir satriecošais studentu skaits (!), kas nejauši veic operāciju ar vārdu. Un ne tikai studenti. Reizēm pieķeru arī skolotājus. Ko tādu skolotāju skolēni spēs matemātikā? Tiešais iemesls šī teksta rakstīšanai bija saruna ar skolotāju, kurai dalīšana ar nulli nebija problēma ...

Ar nulli, jā, izņemot apgrūtinājumus par neko, jo mums tas nav īsti nepieciešams izmantot ikdienā. Mēs neejam iepirkties pēc nulles olām. “Istabā ir viens cilvēks” izklausās kaut kā dabiski, un “nulle cilvēku” izklausās mākslīgi. Lingvisti saka, ka nulle atrodas ārpus valodu sistēmas.

Mēs varam iztikt arī bez nulles bankas kontos: vienkārši izmantojiet - kā uz termometra - sarkanu un zilu pozitīvām un negatīvām vērtībām (ņemiet vērā, ka temperatūrai ir dabiski izmantot sarkano krāsu pozitīviem skaitļiem, un bankas kontiem to ir otrādi, jo debetam vajadzētu izraisīt brīdinājumu, tāpēc sarkanā krāsa ir ļoti ieteicama).

Iekļaujot nulli kā naturālu skaitli, mēs pieskaramies diferenciācijas problēmai Kardinālie skaitļi od mājsaimniecība. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, … robežās.

skaitļa jauda ir tāda pati kā tās vietas skaitlis, kurā tas atrodas. Pretējā gadījumā tas jau ir secībā 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, ....

Otrajā vietā ir viengabalu kopu skaits, trešajā vietā ir komplektu skaits ar diviem elementiem utt. Jāskaidro, kāpēc, piemēram, sportistu vietas sacensībās neskaitām no nulles. Tad pirmās vietas ieguvējs saņemtu sudraba medaļu (zelts tika nulles vietas ieguvējam) un tā tālāk. Nedaudz līdzīga procedūra tika izmantota futbolā - nezinu, vai Lasītāji zina, ka "league one" nozīmē " sekojot labākajam." “, un nulles līga tiek saukta par “lielāko līgu”.

Dažkārt dzirdam argumentu, ka jāsāk no nulles, jo IT cilvēkiem tas ir ērti. Turpinot šos apsvērumus, būtu jāmaina kilometra definīcija - tam jābūt 1024 m, jo ​​tas ir baitu skaits kilobaitā (atsaucos uz datorzinātniekiem zināmu joku: “Kāda ir atšķirība starp pirmkursnieku un datorzinātņu students un šīs fakultātes piektā kursa students? ka kilobaits ir 1000 kilobaiti, pēdējais - ka kilometrs ir 1024 metri")!

Vēl viens viedoklis, kas jau būtu jāuztver nopietni, ir šāds: mēs vienmēr mērām no nulles! Pietiek paskatīties uz jebkuru mērauklu uz lineāla, uz sadzīves svariem, pat uz pulksteni. Tā kā mēs mērām no nulles un skaitīšanu var saprast kā mērījumu ar bezdimensiju mērvienību, tad mums vajadzētu skaitīt no nulles.

Tā ir vienkārša lieta, bet...

Atstāsim vispārējo argumentāciju un atgriezīsimies pie dalīšanas ar nulli. Lieta ir vienkārša, un tas būtu vienkārši, ja tas nebūtu ... un ko tad? Domāsim un mēģināsim. Cik tas var būt – viens dalīts ar nulli? Apskatīsim: 1/0 = x. Reiziniet abas puses ar kreisās puses saucēju.

Mēs iegūstam 1=0. Kaut kas nav kārtībā! Kas notika? Ak, uzmini! Pieņēmums, ka pastāv vienotības un nulles koeficients, noved pie pretrunas. Un, ja vienu nevar dalīt ar nulli, tad citu skaitli var. Ja, Lasītāj, raustat plecus un brīnāties, kāpēc autors (tas ir, es) raksta par tādām banalitātēm, tad ... ļoti priecājos!

Formulu 0/0 = 0 varētu aizstāvēt spītīgi, taču tā ir pretrunā ar noteikumu, ka skaitļa dalīšanas ar sevi rezultāts ir vienāds ar vienu. Pilnīgi, bet diezgan atšķirīgi ir tādi simboli kā 0/0, °/° un tamlīdzīgi aprēķinos. Tie nenozīmē nevienu skaitli, bet ir simbolisks apzīmējums noteiktām noteiktu veidu sekvencēm.

Kādā elektrotehnikas grāmatā atradu interesantu salīdzinājumu: dalīt ar nulli ir tikpat bīstami kā augstsprieguma elektrība. Tas ir normāli: Oma likums nosaka, ka sprieguma attiecība pret pretestību ir vienāda ar strāvu: V = U / R. Ja pretestība būtu nulle, teorētiski bezgalīga strāva plūstu caur vadītāju, sadedzinot visus iespējamos vadītājus.

Reiz es uzrakstīju dzejoli par briesmām, ko var radīt dalīšana ar nulli katrai nedēļas dienai. Atceros, ka visdramatiskākā diena bija ceturtdiena, bet žēl visu manu darbu šajā jomā.

Kad jūs dalāt kaut ko ar nulli

Ļoti agra pirmdiena

Nedēļa, kas tikko notika

Jūs jau esat smagi izgāzies.

Kad otrdienas pēcpusdienā

Jūs ieliekat nulli saucējā

Tad es tev teikšu, tu kļūdies

Slikts matemātiķis!

Kad caur nulli, caur perversiju,

Gribu šķirties trešdien

Jums būs daudz nepatikšanas

Tev galvā siens un ūdens!

Kāds Barteks bija ar mums.

Viņš bija pretrunā ar noteikumiem.

Ceturtdien tas dalās ar nulli.

Viņš vairs nav starp mums!

Ja tevi pārņem dīvaina vēlme

Piektdien dalīt ar nulli

Teikšu godīgi, teikšu godīgi:

Slikts šīs nedēļas nogales sākums.

Kad nulle, tad kaut kur sestdien

Dalītājs būs jūsu (nav treknrakstā)

Nometies ceļos zem baznīcas žoga.

Šī ir jūsu augšāmcelšanās.

Vai vēlaties nulli zem domuzīmes,

Padariet brīvdienu svētdien

Līdzi jāņem krīts, melns dēlis.

Uzrakstiet: tas nedalās ar nulli!

Nulle ir saistīta ar tukšumu un nebūtību. Patiešām, viņš nonāca pie matemātikas kā lieluma, kas, pievienojot nevienam, to nemaina: x + 0 = x. Bet tagad nulle parādās vairākās citās vērtībās, jo īpaši kā mēroga sākums. Ja ārpus loga nav ne pozitīvas temperatūras, ne sals, tad ... šī ir nulle, kas nenozīmē, ka temperatūras nav vispār. Nulles klases piemineklis nav tāds, kas jau sen ir nojaukts un vienkārši neeksistē. Gluži pretēji, tas ir kaut kas līdzīgs Vāvelei, Eifeļa tornim un Brīvības statujai.

Nulles nozīmi pozicionālajā sistēmā nevar pārvērtēt. Vai zini, lasītāj, cik nulles ir Bilam Geitsam bankas kontā? Es nezinu, bet es gribētu pusi. Acīmredzot Napoleons Bonaparts pamanīja, ka cilvēki ir kā nulles: viņi iegūst nozīmi caur stāvokli. Andžeja Vajdas filmā As the Years, As the Days Pass kaislīgais mākslinieks Džerijs eksplodē: "Filisters ir nulle, nihil, nekas, nekas, nihils, nulle." Bet nulle var būt laba: “nulles novirze no normas” nozīmē, ka viss notiek labi, un tā turpināt!

Atgriezīsimies pie matemātikas. Nulle var nesodīti pieskaitīt, atņemt un reizināt. "Es pieņēmos svarā par nulli," Manja saka Anijai. "Un tas ir interesanti, jo es zaudēju tādu pašu svaru," atbild Anija. Tāpēc apēdīsim sešas nulles saldējuma porcijas sešas reizes, tas mums nekaitēs.

Mēs nevaram dalīt ar nulli, bet mēs varam dalīt ar nulli. Nulles pelmeņu šķīvi var viegli izdalīt tiem, kas gaida ēdienu. Cik katrs saņems?

Nulle nav pozitīva vai negatīva. Šis un numurs nepozitīvsи nav negatīvs. Tas apmierina nevienādības x≥0 un x≤0. Pretruna "kaut kas pozitīvs" nav "kaut kas negatīvs", bet "kaut kas negatīvs vai vienāds ar nulli". Matemātiķi, pretēji valodas likumiem, vienmēr sacīs, ka kaut kas ir "vienāds ar nulli", nevis "nulle". Lai attaisnotu šo praksi, mums ir: ja mēs lasām formulu x = 0 "x ir nulle", tad x = 1 mēs lasām "x ir vienāds ar vienu", ko varētu norīt, bet kā ar "x = 1534267"? Arī rakstzīmei 0 nevar piešķirt skaitlisku vērtību⁰ne arī paaugstināt nulli negatīvā pakāpē. No otras puses, jūs varat sakņot nulli pēc vēlēšanās... un rezultāts vienmēr būs nulle. 

Eksponenciālā funkcija y = a^x, a pozitīvā bāze nekad nekļūst par nulli. No tā izriet, ka nulles logaritma nav. Patiešām, a logaritms pret bāzi b ir eksponents, līdz kuram jāpaaugstina bāze, lai iegūtu a logaritmu. Ja a = 0, šāda rādītāja nav, un nulle nevar būt logaritma bāze. Tomēr nulle Ņūtona simbola "saucējā" ir kas cits. Mēs pieņemam, ka šīs konvencijas nerada pretrunas.

nepatiesi pierādījumi

Dalīšana ar nulli ir izplatīts nepatiesu pierādījumu priekšmets, un tas notiek pat pieredzējušiem matemātiķiem. Ļaujiet man sniegt jums divus no maniem iecienītākajiem piemēriem. Pirmais ir algebrisks. Es "pierādīšu", ka visi skaitļi ir vienādi. Pieņemsim, ka ir divi skaitļi, kas nav vienādi. Tāpēc viens no tiem ir lielāks par otru, lai a > b. Pieņemsim, ka c ir to atšķirība

c \uXNUMXd a - b. Tātad mums ir a - b = c, no kurienes a = b + c.

Mēs reizinām abas pēdējās daļas ar a - b:

a² – ab = ab + ac – b2 – bc.

Es tulkoju ak uz kreiso pusi, protams atceros par zīmes maiņu:

a² - ab - ac = ab - b2 - bc.

Es izslēdzu izplatītos faktorus:

A (a-b-c) \uXNUMXd b (a-b-c),

Es dalos, un man ir tas, ko vēlējos:

a = b.

Un patiesībā vēl dīvaināk, jo pieņēmu, ka a > b, un saņēmu, ka a = b. Ja augstāk esošajā piemērā "krāpšanos" ir viegli atpazīt, tad zemāk esošajā ģeometriskajā pierādījumā tas nav tik vienkārši. Es pierādīšu, ka ... trapece neeksistē. Figūra, ko parasti sauc par trapecveida formu, nepastāv.

Bet vispirms pieņemsim, ka ir tāda lieta kā trapece (ABCD attēlā zemāk). Tam ir divas paralēlas malas ("pamatnes"). Izstiepsim šīs pamatnes, kā parādīts attēlā, lai iegūtu paralelogramu. Tās diagonāles sadala otru trapeces diagonāli segmentos, kuru garumi ir apzīmēti ar x, y, z, kā 1. attēls. No atbilstošo trīsstūru līdzības iegūstam proporcijas:

kur mēs definējam:

Orāzs

kur mēs definējam:

Atņemiet vienādības malas, kas atzīmētas ar zvaigznītēm:

 Saīsinot abas malas par x − z, iegūstam – a/b = 1, kas nozīmē, ka a + b = 0. Bet skaitļi a, b ir trapeces pamatu garumi. Ja to summa ir nulle, tad tie arī ir nulle. Tas nozīmē, ka tāda figūra kā trapece nevar pastāvēt! Un tā kā taisnstūri, rombi un kvadrāti arī ir trapeces, tad, dārgais lasītāj, nav arī rombu, taisnstūru un kvadrātu ...

Uzminiet Uzminiet

Informācijas apmaiņa ir visinteresantākā un izaicinošākā no četrām pamataktivitātēm. Šeit mēs pirmo reizi sastopamies ar parādību, kas tik izplatīta pieaugušā vecumā: "uzmini atbildi un pēc tam pārbaudi, vai uzminējāt pareizi." To ļoti trāpīgi izteicis Daniels K. Denets (“Kā pieļaut kļūdas?”, grāmatā How It Is – A Scientific Guide to the Universe, CiS, Varšava, 1997):

Šī "minēšanas" metode netraucē mūsu pieaugušo dzīvei - iespējams, tāpēc, ka mēs to apgūstam agri un uzminēt nav grūti. Ideoloģiski tāda pati parādība notiek, piemēram, matemātiskajā (pilnīgajā) indukcijā. Tajā pašā vietā mēs “uzminam” formulu un pēc tam pārbaudām, vai mūsu minējums ir pareizs. Studenti vienmēr jautā: “Kā mēs uzzinājām modeli? Kā to var izņemt?" Kad studenti man uzdod šo jautājumu, es viņu jautājumu pārvēršu par joku: "Es to zinu, jo esmu profesionālis, jo man maksā, lai zinātu." Skolēniem skolā var atbildēt tādā pašā stilā, tikai nopietnāk.

Vingrinājums. Ņemiet vērā, ka saskaitīšanu un rakstisko reizināšanu sākam ar zemāko vienību un dalīšanu ar lielāko vienību.

Divu ideju kombinācija

Matemātikas skolotāji vienmēr ir norādījuši, ka tas, ko mēs saucam par pieaugušo atdalīšanu, ir divu konceptuāli atšķirīgu ideju savienība: Корпус i atdalīšana.

Pirmais (Корпус) notiek uzdevumos, kuru arhetips ir:

Dali-šķiri Tie ir tādi uzdevumi kā:

? (Mēs saglabājam šīs problēmas sākotnējo stilu, kas ņemts no Juliana Zgozalewicz rokasgrāmatas, kas izdota Krakovā 1892. gadā — zlots ir Reinas zlots, valūta, kas bija apgrozībā Austroungārijas impērijā līdz XNUMX. gadsimta sākumam).

Tagad apsveriet divas problēmas ar vecākā matemātikas mācību grāmata poļu valodā, tēvs Tomašs Kloss (1538). Vai tā ir divīzija vai kupeja? Atrisiniet to tā, kā XNUMX. gadsimta skolēniem vajadzētu:

(Tulkojumā no poļu uz poļu: Mucā ir kvarts un četri katli. Katls ir četri kvarti. Kāds nopirka 20 mucas vīna par 50 zł tirdzniecībai. Nodoklis un nodoklis (akcīzes?) būs 8 zł. Cik pārdot kvartu, lai nopelnītu 8 zlotus?)

Sports, fizika, kongruence

Reizēm sportā kaut kas jādala ar nulli (vārtu attiecība). Nu, tiesneši kaut kā tiek ar to galā. Tomēr abstraktajā algebrā tie ir darba kārtībā. daudzumi, kas nav nulles lielumikura kvadrāts ir nulle. To pat var izskaidrot vienkārši.

Apsveriet funkciju F, kas saista punktu (y, 0) ar punktu plaknē (x, y). Kas ir F², tas ir, dubultā F izpilde? Nulles funkcija - katram punktam ir attēls (0,0).

Visbeidzot, nulles lielumi, kuru kvadrāts ir 0, ir gandrīz ikdienas maize fiziķiem, un skaitļi formā a + bε, kur ε ≠ 0, bet ε² = 0, sauc matemātiķi dubultskaitļi. Tie rodas matemātiskajā analīzē un diferenciālajā ģeometrijā.

Galu galā aritmētikā ir kaut kas tāds, kam vismaz nosaukumā ir dalījums ar nulli. Tas nāk no sakritība. Ar Z apzīmē veselu skaitļu kopu. Kopas Z dalīšana ar p nozīmē, ka katrs skaitlis (vesels skaitlis) tiek pielīdzināts dažiem citiem, proti, tiem, ar kuriem dalās to starpība. Tātad, ja mums ir pieci skaitļu veidi, kas atbilst skaitļiem 0, 1, 2, 3, 4 - iespējamie atlikumi, dalīti ar 5. Formulu raksta šādi:

mod, ja starpība ir daudzkārtēja.

Ja = 2, mums ir tikai divi skaitļi: 0 un 1. Veselu skaitļu sadalīšana divās šādās klasēs ir līdzvērtīga to sadalīšanai pāra un nepāra. Aizstāsim to tagad. Starpība vienmēr dalās ar 1 (jebkurš vesels skaitlis dalās ar 1). Vai ir iespējams ņemt =0? Mēģināsim: kad divu skaitļu starpība ir vienāda ar nulli? Tikai tad, ja šie divi skaitļi ir vienādi. Tātad veselu skaitļu kopas dalīšana ar nulli ir jēga, taču tas nav interesanti: nekas nenotiek. Tomēr jāuzsver, ka tas nav skaitļu dalījums tādā nozīmē, kā tas zināms no pamatskolas.

Šādas darbības ir vienkārši aizliegtas, kā arī gara un plaša matemātika.

Rīsi. 2. Skaitļu identifikācija, izmantojot salīdzināšanu

(5. un 2. režīms)