Jaunajam mācību gadam

Lielākā daļa lasītāju bija kaut kur atvaļinājumā – vai mūsu skaistajā valstī, kaimiņvalstīs vai varbūt pat ārzemēs. Izmantosim šo iespēju, kamēr mums ir atvērtas robežas... Kāda zīme bija visbiežāk sastopamā mūsu īsajos un tālākajos ceļojumos? Šī ir bultiņa, kas norāda uz izeju no automaģistrāles, kalnu takas turpinājumu, ieeju muzejā, ieeju pludmalē un tā tālāk, un tā tālāk. Kas tajā visā ir interesants? Matemātiski ne tik daudz. Bet padomāsim: šī zīme ir acīmredzama ikvienam ... tādas civilizācijas pārstāvjiem, kurā savulaik tika šauta loka šaušana. Tiesa, pierādīt to nav iespējams. Mēs nezinām nevienu citu civilizāciju. Tomēr matemātiski interesantāks ir parastais piecstūris un tā zvaigznes formas versija, pentagramma.

Mums nav vajadzīga izglītība, lai šie skaitļi būtu intriģējoši un interesanti. Ja, lasītāj, tu esi dzēris piecu zvaigžņu konjaku pieczvaigžņu viesnīcā Parīzes Zvaigžņu laukumā, tad varbūt... tu esi dzimis zem laimīgas zvaigznes. Kad kāds mums lūgs uzzīmēt zvaigzni, mēs bez vilcināšanās zīmēsim piecstaru, un, kad sarunu biedrs ir pārsteigts: “Tas ir bijušās PSRS simbols!”, varam atbildēt: Staļļi!”.

Pentagrammu jeb piecstaru zvaigzni, regulāru piecstūri, ir apguvusi visa cilvēce. Vismaz ceturtā daļa valstu, tostarp ASV un bijušās PSRS, to ir iekļāvušas savās emblēmās. Bērnībā mēs mācījāmies zīmēt piecstaru zvaigzni, nepaceļot zīmuli no lapas. Pieaugušā vecumā viņa kļūst par mūsu vadzvaigzni, nemainīgu, tālu, cerības un likteņa simbolu, orākulu. Paskatīsimies uz to no malas.

Ko mums stāsta zvaigznes?

Vēsturnieki ir vienisprātis, ka līdz XNUMX. gadsimtam pirms mūsu ēras Eiropas tautu intelektuālais mantojums palika Babilonas, Ēģiptes un Feniķijas kultūru ēnā. Un pēkšņi sestais gadsimts atnes renesansi un tik strauju kultūras un zinātnes attīstību, ka daži žurnālisti (piemēram, Danikens) apgalvo - grūti pateikt, vai viņi paši tam tic -, ka bez iejaukšanās tas nebūtu bijis iespējams. no ieslodzītajiem. no kosmosa.

Runājot par Grieķiju, lietai ir racionāls skaidrojums: tautu migrācijas rezultātā Peloponēsas pussalas iedzīvotāji uzzina vairāk par kaimiņvalstu kultūru (piemēram, feniķiešu burti iekļūst Grieķijā un uzlabo alfabētu ), un viņi paši sāk kolonizēt Vidusjūras baseinu. Tie vienmēr ir ļoti labvēlīgi apstākļi zinātnes attīstībai: neatkarība apvienojumā ar kontaktiem ar pasauli. Bez neatkarības mēs esam nolemti Centrālamerikas banānu republiku liktenim; bez kontaktiem – Ziemeļkorejai.

Skaitļiem ir nozīme

XNUMX. gadsimts pirms mūsu ēras bija īpašs gadsimts cilvēces vēsturē. Viens otru nezinot vai varbūt nedzirdot, trīs lielie domātāji mācīja: Buda, Konfūcijs i Pitagors. Pirmie divi radīja reliģijas un filozofijas, kas ir dzīvas arī mūsdienās. Vai trešā no tām loma aprobežojas ar konkrēta trīsstūra vienas vai citas īpašības atklāšanu?

624. un 546. gadsimta mijā (ap XNUMX. g. – ap XNUMX. g. p.m.ē.) dzīvoja Milētā mūsdienu Mazāzijā. Šāds. Vieni avoti vēsta, ka viņš bijis zinātnieks, citi – bagāts tirgotājs, vēl citi viņu dēvē par uzņēmēju (acīmredzot, viena gada laikā viņš nopircis visas eļļas spiedes, bet pēc tam aizņēmies par augļotāju). Daži pēc pašreizējās modes un zinātnes darīšanas modeļa viņu savukārt uzskata par mecenātu: acīmredzot viņš uzaicināja gudros, pabaroja un pacienāja un tad teica: “Nu, strādājiet par godu es un visa zinātne." Tomēr daudzi nopietni avoti sliecas apgalvot, ka Thales, miesa un asinis, nemaz neeksistēja, un viņa vārds kalpoja tikai kā konkrētu ideju personifikācija. Kā bija, tā bija, un mēs, iespējams, nekad neuzzināsim. Matemātikas vēsturnieks E. D. Smits rakstīja, ka, ja nebūtu Talsa, nebūtu arī Pitagora un neviena tāda kā Pitagora, un bez Pitagora nebūtu ne Platona, ne arī tāda kā Platons. Visdrīzāk. Tomēr atstāsim malā, kas būtu noticis, ja.

Pitagors (ap 572. g. — ap 497. g. p.m.ē.) mācīja Krotonē Itālijas dienvidos, un tieši tur dzima meistara vārdā nosauktā intelektuālā kustība: Pitagorisms. Tā bija ētiski-reliģiska kustība un apvienība, kas balstījās, kā mēs to šodien dēvētu, uz noslēpumiem un slepenām mācībām, uzskatot zinātnes pētniecību par vienu no dvēseles attīrīšanas līdzekļiem. Vienas vai divu paaudžu dzīves laikā pitagorisms izgāja cauri ierastajiem ideju attīstības posmiem: sākotnējai izaugsmei un paplašināšanai, krīzei un lejupslīdei. Patiesi lieliskas idejas nebeidz savu dzīvi tur un nekad nemirst mūžīgi. Pitagora (viņš pats izdomāja terminu, ko pats sauca: filozofs jeb gudrības draugs) un viņa mācekļu intelektuālā mācība dominēja visā senatnē, pēc tam atgriezās renesansē (ar nosaukumu panteisms), un mēs patiesībā esam viņa ietekmē. šodien. Pitagorisma principi ir tik ļoti iesakņojušies kultūrā (vismaz Eiropā), ka mēs diez vai apzināmies, ka varētu domāt citādi. Mēs esam tikpat pārsteigti kā Moljēra Monsieur Jourdain, kurš bija pārsteigts, uzzinot, ka viņš visu mūžu ir runājis prozu.

Pitagorisma galvenā ideja bija pārliecība, ka pasaule ir sakārtota pēc stingra plāna un harmonijas un ka cilvēka aicinājums ir zināt šo harmoniju. Un tieši pārdomas par pasaules harmoniju veido pitagorisma mācību. Pitagorieši noteikti bija gan mistiķi, gan matemātiķi, lai gan tikai mūsdienās tos ir viegli klasificēt tik nejauši. Viņi bruģēja ceļu. Viņi sāka studijas par pasaules harmoniju, vispirms studējot mūziku, astronomiju, aritmētiku utt.

Lai gan cilvēce padevās maģijai "uz visiem laikiem", tikai Pitagora skola to paaugstināja līdz vispārpiemērojamam likumam. "Cipari valda pār pasauli" – šis sauklis vislabāk raksturoja skolu. Skaitļiem ir dvēsele. Katrs kaut ko nozīmēja, katrs kaut ko simbolizēja, katrs atspoguļoja daļiņu no šīs Visuma harmonijas, t.i. telpa. Pats vārds nozīmē "kārtība, kārtība" (lasītāji zina, ka kosmētika izlīdzina seju un uzlabo skaistumu).

Dažādi avoti dod dažādas nozīmes, ko pitagorieši piešķīra katram skaitlim. Tā vai citādi viens un tas pats skaitlis varētu simbolizēt vairākus jēdzienus. Svarīgākie bija seši (ideāls skaitlis) i desmit - secīgu skaitļu 1 + 2 + 3 + 4 summa, kas veidota no citiem skaitļiem, kuru simbolika ir saglabājusies līdz mūsdienām.

Tātad Pitagors mācīja, ka skaitļi ir visa sākums un avots, ka - ja jūs iedomājaties - tie "sajaucas" viens ar otru, un mēs redzam tikai to darbības rezultātus. Pitagora radītajai vai drīzāk attīstītajai skaitļu mistikai mūsdienās nav “labas drukas”, un pat nopietni autori šeit saskata “patosa un absurda” vai “zinātnes, mistikas un tīra pārspīlējuma” sajaukumu. Grūti saprast, kā slavenais vēsturnieks Aleksandrs Kravčuks varēja rakstīt, ka Pitagors un viņa skolēni piepildīja filozofiju ar vīzijām, mītiem, māņticību – it kā viņš neko nesaprastu. Jo tas tā izskatās tikai no mūsu XNUMX. gadsimta viedokļa. Pitagorieši neko nesasprindzināja, viņi radīja savas teorijas pēc pilnīgas sirdsapziņas. Varbūt pēc dažiem gadsimtiem kāds uzrakstīs, ka arī visa relativitātes teorija bija absurda, pretencioza un uzspiesta. Un skaitliskā simbolika, kas ceturtdaļmiljonu gadu šķīra mūs no Pitagora, dziļi iespiedās kultūrā un kļuva par tās sastāvdaļu, piemēram, grieķu un vācu mīti, viduslaiku bruņinieku eposi, krievu tautas pasakas par Kostu vai Juliuša Slovaka vīzija. slāvu pāvests.

Noslēpumaina iracionalitāte

Ģeometrijā pitagorieši bija pārsteigti figurami-podobnymi. Un tieši Talesa teorēmas, līdzības noteikumu pamatlikuma, analīzē notika katastrofa. Tika atklātas nesalīdzināmas sadaļas un līdz ar to neracionāli skaitļi. Epizodes, kuras nevar izmērīt ar vispārēju mēru. Skaitļi, kas nav proporcijas. Un tas tika atrasts vienā no vienkāršākajām formām: kvadrātā.

Šodien skolas zinātnē mēs šo faktu apietam, gandrīz nepamanot. Kvadrāta diagonāle ir √2? Lieliski, cik tas var būt? Nospiežam divas pogas uz kalkulatora: 1,4142 ... Nu, mēs jau zinām, kas ir kvadrātsakne no diviem. Kuru? Vai tas ir neracionāli? Varbūt tas ir tāpēc, ka mēs izmantojam tik dīvainu zīmi, bet galu galā patiesībā tas ir 1,4142. Galu galā kalkulators nemelo.

Ja lasītājam šķiet, ka es pārspīlēju, tad ... ļoti labi. Acīmredzot poļu skolas nav tik sliktas kā, piemēram, britu, kur viss ir neizmērojamība kaut kur starp pasakām.

Poļu valodā vārds "irracionāls" nav tik biedējošs kā tā līdzinieks citās Eiropas valodās. Racionālie skaitļi ir racionālie, racionālie, racionālie, t.i.

Apsveriet argumentāciju, ka √2 tas ir neracionāls skaitlis, tas ir, tā nav neviena p/q daļa, kur p un q ir veseli skaitļi. Mūsdienu izteiksmē tas izskatās šādi... Pieņemsim, ka √2 = p / q un šo daļu vairs nevar saīsināt. Jo īpaši gan p, gan q ir nepāra. Kvadrātēsim: 2q²=p². Skaitlis p nevar būt nepāra, kopš tā laika p² arī būtu, un vienādības kreisā puse ir 2 daudzkārtnis. Tādējādi p ir pāra, t.i., p = 2r, tātad p²= 4r². Mēs samazinām vienādojumu 2q²= 4r². mēs saņemam d²= 2r² un mēs redzam, ka arī q ir jābūt pāra, ko mēs pieņēmām, ka tas tā nav. Saņemts pretruna pierādījums beidzas – šo formulu šad un tad var atrast katrā matemātikas grāmatā. Šis netiešais pierādījums ir sofistu iecienīts triks.

Es tomēr uzsveru, ka tā ir mūsdienu spriešana – pitagoriešiem nebija tik attīstīta algebriskā aparāta. Viņi meklēja kvadrāta malas un tā diagonāles kopīgu mēru, kas viņus noveda pie domas, ka šāda kopīga mēra nevar būt. Pieņēmums par tā esamību noved pie pretrunas. Cietā zeme izslīdēja no manām kājām. Visu būtu jāspēj aprakstīt ar skaitļiem, un kvadrāta diagonālei, kuru ikviens var uzzīmēt ar kociņu uz smiltīm, nav garuma (tas ir, tas ir izmērāms, jo citu skaitļu nav). "Mūsu ticība bija veltīga," teiktu pitagorieši. Ko darīt?

Tika mēģināts izbēgt ar sektantiskām metodēm. Ikviens, kurš uzdrošinās atklāt iracionālu skaitļu esamību, tiks sodīts ar nāvi, un, acīmredzot, pats meistars - pretēji lēnprātības bauslim - izpilda pirmo teikumu. Tad viss kļūst par aizkaru. Saskaņā ar vienu versiju pitagorieši tika nogalināti (nedaudz izglāba un pateicoties viņiem visa ideja netika aiznesta līdz kapam), pēc citas, paši mācekļi, tik paklausīgi, izdzina dievināto meistaru un viņš kaut kur beidz savu dzīvi trimdā. . Sekta beidz pastāvēt.

Mēs visi zinām Vinstona Čērčila teicienu: "Nekad cilvēces konfliktu vēsturē tik daudz cilvēku nav bijuši parādā tik maz." Tas bija par pilotiem, kuri 1940. gadā aizstāvēja Angliju no vācu lidmašīnām. Ja mēs aizstājam “cilvēku konfliktus” ar “cilvēku domām”, tad teiciens attiecas uz saujiņu pitagoriešu, kuri (tik maz) aizbēga no pogroma XNUMX gadu beigās. XNUMX. gadsimtā pirms mūsu ēras.

Tātad "doma pagāja neskarta". Ko tālāk? Zelta laikmets tuvojas. Grieķi sakauj persiešus (Maratons - 490 BC, Payment - 479). Demokrātija kļūst stiprāka. Rodas jauni filozofiskās domas centri un jaunas skolas. Pitagorisma sekotāji saskaras ar iracionālo skaitļu problēmu. Daži saka: “Mēs nesapratīsim šo noslēpumu; Mēs varam tikai to apdomāt un apbrīnot Uncharted." Pēdējie ir pragmatiskāki un nerespektē Mistēriju: “Ja ar šīm figūrām kaut kas nav kārtībā, liksim mierā, pēc kādiem 2500 gadiem viss kļūs zināms. Varbūt skaitļi nevalda pār pasauli? Sāksim ar ģeometriju. Svarīgi vairs nav skaitļi, bet gan to proporcijas un attiecības.

Pirmā virziena atbalstītāji ir zināmi matemātikas vēsturniekiem kā akustikaViņi nodzīvoja vēl dažus gadsimtus un viss. Pēdējie sauca sevi matemātika (no grieķu mathein = zināt, mācīties). Mums nevienam nav jāpaskaidro, ka šī pieeja ir uzvarējusi: tā ir nodzīvojusi divdesmit piecus gadsimtus un gūst panākumus.

Matemātiķu uzvara pār auzmatiku īpaši izpaudās jauna pitagoriešu simbola parādīšanā: no šī brīža tā bija pentagramma (pentás = pieci, grama = burts, uzraksts) - regulārs piecstūris a formas formā. zvaigzne. Tās zari krustojas ārkārtīgi proporcionāli: veselums vienmēr attiecas uz lielāko daļu, bet lielākā daļa uz mazāko daļu. Viņš zvanīja dievišķā proporcija, pēc tam sekularizēja uz zelts. Senie grieķi (un visa eirocentriskā pasaule aiz viņiem) uzskatīja, ka šī proporcija ir cilvēka acij tīkamākā, un to satika gandrīz visur.

(Cyprian Camille Norwid, "Prometidions")

Beigšu vēl ar vienu fragmentu, šoreiz no poēmas "Fausts" (tulkojis Vladislavs Augusts Kosteļskis). Nu, pentagramma ir arī piecu maņu un slavenās "burvju pēdas" attēls. Gētes dzejolī doktors Fausts gribēja pasargāt sevi no velna, uzzīmējot šo simbolu uz savas mājas sliekšņa. Viņš to darīja nejauši, un notika šādi:

Faust

M epistopheles

Faust

Un tas viss ir par ierasto piecstūri jaunā mācību gada sākumā.